Метод гибкости

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Метод гибкости»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( сентябрь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В структурной инженерии , то метод гибкости , называемый также методом последовательных деформаций , является традиционным методом для вычисления силы членов и смещений в структурных системах. Его современная версия, сформулированная в терминах матриц гибкости стержней, также носит название матричный метод сил из-за использования сил стержней в качестве первичных неизвестных. ^[1]

Гибкость участников [ править ]

Гибкость - это противоположность жесткости . Например, рассмотрим пружину, у которой Q и q - соответственно ее сила и деформация:

• Соотношение жесткости пружины Q = kq, где k - жесткость пружины.
• Его отношение гибкости q = f Q , где f - упругость пружины.
• Следовательно, f = 1 / k .

Типичное отношение гибкости члена имеет следующую общую форму:

${\ displaystyle \ mathbf {q} ^ {m} = \ mathbf {f} ^ {m} \ mathbf {Q} ^ {m} + \ mathbf {q} ^ {om} \ qquad \ qquad \ qquad \ mathrm { (1)}}$

куда

m = номер элемента m .

${\ Displaystyle \ mathbf {д} ^ {м}}$ = вектор характеристических деформаций стержня.

${\ displaystyle \ mathbf {f} ^ {m}}$ = матрица гибкости стержня, которая характеризует восприимчивость стержня к деформации под действием сил.

${\ displaystyle \ mathbf {Q} ^ {m}}$= вектор независимых характеристических сил стержня, которые являются неизвестными внутренними силами. Эти независимые силы создают все силы на концах стержня за счет равновесия стержня.

${\ Displaystyle \ mathbf {д} ^ {ом}}$= вектор характеристических деформаций элемента, вызванных внешними воздействиями (такими как известные силы и изменения температуры), приложенными к изолированному, отсоединенному элементу (т. е. с ).${\ Displaystyle \ mathbf {Q} ^ {m} = 0}$

Для системы, состоящей из многих элементов, соединенных между собой в точках, называемых узлами, отношения гибкости элементов можно объединить в одно матричное уравнение, опустив верхний индекс m:

${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {M \ times 1} = \ mathbf {f} _ {M \ times M} \ mathbf {Q} _ {M \ times 1} + \ mathbf {q} _ {M \ раз 1} ^ {o} \ qquad \ qquad \ qquad \ mathrm {(2)}}$

где M - общее количество характерных деформаций или сил стержней в системе.

В отличие от метода жесткости матрицы , где отношения жесткости элементов могут быть легко интегрированы с помощью узловых условий равновесия и совместимости, нынешняя гибкая форма уравнения (2) представляет серьезные трудности. С стержневыми силами в качестве первичных неизвестных, количество узловых уравнений равновесия является недостаточным для решения, в общем случае - если система не является статически определимой .${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {M \ times 1}}$

Уравнения узлового равновесия [ править ]

Чтобы решить эту проблему, сначала мы используем уравнения узлового равновесия, чтобы уменьшить количество независимых неизвестных сил стержня. Уравнение узлового равновесия системы имеет вид:

${\displaystyle \mathbf {R} _{N\times 1}=\mathbf {b} _{N\times M}\mathbf {Q} _{M\times 1}+\mathbf {W} _{N\times 1}\qquad \qquad \qquad \mathrm {(3)} }$

куда

${\displaystyle \mathbf {R} _{N\times 1}}$: Вектор узловых сил на всех N степенях свободы системы.

${\displaystyle \mathbf {b} _{N\times M}}$: Полученная узловая матрица равновесия

${\displaystyle \mathbf {W} _{N\times 1}}$: Вектор сил, возникающих от нагрузки на стержни.

В случае детерминированных систем матрица b является квадратной, и решение для Q может быть найдено немедленно из (3) при условии, что система устойчива.

Основная система [ править ]

Для статически неопределимых систем M> N , и, следовательно, мы можем дополнить (3) I = MN уравнениями вида:

${\displaystyle X_{i}=\alpha Q_{j}+\beta Q_{k}+...\qquad i=1,2,...I\qquad \qquad \mathrm {(4)} }$

Вектор X - это так называемый вектор избыточных сил, а I - степень статической неопределенности системы. Мы обычно выбираем J , K , ..., и таким образом, что это реакция опоры или внутренний элемент класса силы. При соответствующем выборе избыточных сил система уравнений (3), дополненная (4), теперь может быть решена для получения:${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle \mathbf {Q} _{M\times 1}=\mathbf {B} _{R}\mathbf {R} _{N\times 1}+\mathbf {B} _{X}\mathbf {X} _{I\times 1}+\mathbf {Q} _{v\cdot M\times 1}\qquad \qquad \qquad \mathrm {(5)} }$

Подстановка в (2) дает:

${\displaystyle \mathbf {q} _{M\times 1}=\mathbf {f} _{M\times M}{\Big (}\mathbf {B} _{R}\mathbf {R} _{N\times 1}+\mathbf {B} _{X}\mathbf {X} _{I\times 1}+\mathbf {Q} _{v\cdot M\times 1}{\Big )}+\mathbf {q} _{M\times 1}^{o}\qquad \qquad \qquad \mathrm {(6)} }$

Уравнения (5) и (6) являются решением для первичной системы, которая является исходной системой, которая была статически определена с помощью разрезов, в которых проявляются избыточные силы . Уравнение (5) эффективно сокращает набор неизвестных сил до .${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$

Уравнение совместимости и решение [ править ]

Затем нам нужно создать уравнения совместимости, чтобы найти . Уравнения совместимости восстанавливают требуемую непрерывность на участках разреза, устанавливая относительные смещения в избыточных компонентах X равными нулю. То есть, используя метод фиктивной силы единицы :${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {r} _{X}}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{X}=\mathbf {B} _{X}^{T}\mathbf {q} =\mathbf {B} _{X}^{T}{\Big [}\mathbf {f} {\Big (}\mathbf {B} _{R}\mathbf {R} +\mathbf {B} _{X}\mathbf {X} +\mathbf {Q} _{v}{\Big )}+\mathbf {q} ^{o}{\Big ]}=0\qquad \qquad \qquad \mathrm {(7a)} }$

или же ${\displaystyle \mathbf {r} _{X}=\mathbf {F} _{XX}\mathbf {X} +\mathbf {r} _{X}^{o}=0\qquad \qquad \qquad \mathrm {(7b)} }$

куда

${\displaystyle \mathbf {F} _{XX}=\mathbf {B} _{X}^{T}\mathbf {f} \mathbf {B} _{X}}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{X}^{o}=\mathbf {B} _{X}^{T}{\Big [}\mathbf {f} {\Big (}\mathbf {B} _{R}\mathbf {R} +\mathbf {Q} _{v}{\Big )}+\mathbf {q} ^{o}{\Big ]}}$

Уравнение (7b) может быть решено относительно X , и силы стержней затем находятся из (5), в то время как узловые смещения могут быть найдены как

${\displaystyle \mathbf {r} _{R}=\mathbf {B} _{R}^{T}\mathbf {q} =\mathbf {F} _{RR}\mathbf {R} +\mathbf {r} _{R}^{o}}$

куда

${\displaystyle \mathbf {F} _{RR}=\mathbf {B} _{R}^{T}\mathbf {f} \mathbf {B} _{R}}$является матрица гибкости системы .

${\displaystyle \mathbf {r} _{R}^{o}=\mathbf {B} _{R}^{T}{\Big [}\mathbf {f} {\Big (}\mathbf {B} _{X}\mathbf {X} +\mathbf {Q} _{v}{\Big )}+\mathbf {q} ^{o}{\Big ]}}$

Движения опор, происходящие в дублирующих элементах, могут быть включены в правую часть уравнения (7), в то время как движения опор в других местах также должны быть включены в и .${\displaystyle \mathbf {r} _{X}^{o}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{R}^{o}}$

Преимущества и недостатки [ править ]

Хотя выбор избыточных сил в (4) кажется произвольным и проблематичным для автоматического вычисления, это возражение можно преодолеть, перейдя от (3) непосредственно к (5), используя модифицированный процесс исключения Гаусса-Жордана . Это надежная процедура, которая автоматически выбирает хороший набор избыточных сил для обеспечения числовой стабильности.

Из описанного выше процесса очевидно, что метод жесткости матрицы легче понять и реализовать для автоматического вычисления. Его также легче расширить для расширенных приложений, таких как нелинейный анализ, устойчивость, вибрации и т. Д. По этим причинам метод жесткости матрицы является методом выбора для использования в пакетах программного обеспечения для структурного анализа общего назначения. С другой стороны, для линейных систем с низкой степенью статической неопределенности метод гибкости имеет то преимущество, что он менее требователен к вычислениям. Это преимущество, однако, является спорным вопросом, поскольку персональные компьютеры широко доступны и более мощные. В настоящее время главным искупительным фактором в изучении этого метода является его образовательная ценность, заключающаяся в передаче концепций равновесия и совместимости в дополнение к его исторической ценности. В отличие,Процедура метода прямой жесткости настолько механична, что рискует быть использованной без особого понимания поведения конструкции.

Верхние аргументы были в силе до конца 1990-х годов. Однако недавние достижения в области численных вычислений показали возвращение к силовому методу, особенно в случае нелинейных систем. Были разработаны новые структуры, которые позволяют «точные» формулировки независимо от типа или природы нелинейностей системы. Основное преимущество метода гибкости заключается в том, что ошибка результата не зависит от дискретизации модели и что это действительно очень быстрый метод. Например, упруго-пластическое решение неразрезной балки с использованием силового метода требует всего 4 балочных элементов, тогда как коммерческий МКЭ «на основе жесткости»код требует 500 элементов, чтобы давать результаты с такой же точностью. В заключение можно сказать, что в случае, когда решение задачи требует рекурсивных оценок силового поля, как в случае структурной оптимизации или идентификации системы , эффективность метода гибкости неоспорима.

См. Также [ править ]

• Метод конечных элементов в строительной механике
• Структурный анализ
• Метод жесткости

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Последовательные деформации - метод силы