Метод конечных элементов (МКЭ) - это мощный метод, изначально разработанный для численного решения сложных задач строительной механики , и он остается методом выбора для сложных систем. В FEM структурная система моделируется набором соответствующих конечных элементов, соединенных между собой в дискретных точках, называемых узлами. Элементы могут иметь такие физические свойства, как толщина, коэффициент теплового расширения , плотность , модуль Юнга , модуль сдвига и коэффициент Пуассона .
История
Происхождение конечного метода можно проследить до матричного анализа конструкций [1] [2], где была введена концепция матричного подхода смещения или жесткости. Концепции конечных элементов были разработаны на основе инженерных методов в 1950-х годах. Метод конечных элементов получил свой настоящий импульс в 1960-х и 1970-х годах Джоном Аргирисом и его сотрудниками; в Штутгартском университете - Рэй У. Клаф ; в Калифорнийском университете в Беркли - Ольгерд Зенкевич и его сотрудники Эрнест Хинтон , Брюс Айронс ; [3] в Университете Суонси , Филипп Ж. Сиарле ; в Парижском университете ; в Корнельском университете , Ричард Галлахер и его сотрудники. Оригинальные работы, такие как работы Аргириса [4] и Клафа [5], стали основой современных методов структурного анализа методом конечных элементов.
Прямые или изогнутые одномерные элементы с такими физическими свойствами, как осевая жесткость, жесткость на изгиб и скручивание. Этот тип элементов подходит для моделирования кабелей, раскосов, ферм, балок, ребер жесткости, решеток и рам. Прямые элементы обычно имеют два узла, по одному на каждом конце, в то время как для изогнутых элементов потребуется не менее трех узлов, включая конечные узлы. Элементы располагаются на центральной оси фактических стержней.
- Двумерные элементы, которые противостоят только силам в плоскости за счет действия мембраны (плоское напряжение , плоская деформация ), и пластины, которые противостоят поперечным нагрузкам за счет поперечного сдвига и изгиба (пластины и оболочки ). Они могут иметь различную форму, например плоские или изогнутые треугольники и четырехугольники . Узлы обычно размещаются по углам элемента, и при необходимости для большей точности можно разместить дополнительные узлы по краям элемента или даже внутри элемента. Элементы располагаются посередине фактической толщины слоя.
- Элементы в форме тора для осесимметричных задач, таких как мембраны, толстые пластины, оболочки и твердые тела. По сечению элементы аналогичны описанным ранее типам: одномерные для тонких пластин и оболочек и двумерные для твердых тел, толстых пластин и оболочек.
- Трехмерные элементы для моделирования трехмерных тел, таких как детали машин , плотины , насыпи или массивы грунта. Общие формы элементов включают тетраэдры и шестигранники . Узлы размещаются в вершинах и, возможно, на гранях элемента или внутри элемента.
Взаимосвязь и перемещение элементов
Элементы связаны между собой только на внешних узлах, и вместе они должны максимально точно охватывать всю область. Узлы будут иметь узловые (векторные) смещения или степени свободы, которые могут включать смещения , вращения и, для специальных приложений, производные смещений более высокого порядка . Когда узлы смещаются, они будут тащить элементы определенным образом, определенным формулировкой элемента. Другими словами, перемещения любых точек в элементе будут интерполированы из узловых перемещений, и это основная причина приближенного характера решения.
Практические соображения
С точки зрения приложения важно смоделировать систему таким образом, чтобы:
- Условия симметрии или антисимметрии используются для уменьшения размера модели.
- Совместимость смещения, включая любую требуемую неоднородность, обеспечивается в узлах, а предпочтительно также по краям элементов, особенно когда смежные элементы имеют разные типы, материал или толщину. Совместимость перемещений многих узлов обычно может быть наложена через отношения ограничений.
- Поведение элементов должно отражать доминирующие действия реальной системы как на местном, так и на глобальном уровне.
- Сетка элемента должна быть достаточно мелкой для обеспечения приемлемой точности. Для оценки точности сетка уточняется до тех пор, пока важные результаты не покажут небольших изменений. Для большей точности соотношение сторон элементов должно быть как можно ближе к единице, а элементы меньшего размера должны использоваться над частями с более высоким градиентом напряжения .
- Соответствующие опорные ограничения накладываются с особым вниманием к узлам на осях симметрии.
Крупномасштабные коммерческие программные пакеты часто предоставляют средства для создания сетки и графического отображения входных и выходных данных, что значительно облегчает проверку как входных данных, так и интерпретацию результатов.
Теоретический обзор формулировки смещения МКЭ: от элементов к системе, к решению
Хотя теория МКЭ может быть представлена с разных точек зрения или акцентов, ее развитие для структурного анализа следует более традиционному подходу с использованием принципа виртуальной работы или принципа минимальной полной потенциальной энергии . Виртуальный работа подход принцип носит более общий характер, как это применимо к линейному и нелинейному материалу поведению. Метод виртуальной работы является выражением сохранения энергии : для консервативных систем работа, добавленная к системе набором приложенных сил, равна энергии, запасенной в системе в виде энергии деформации компонентов конструкции.
Принцип виртуальных перемещений структурной системы выражает математическое тождество внешней и внутренней виртуальной работы:
( 1 )
Другими словами, сумма работы, совершенной над системой набором внешних сил, равна работе, накопленной в виде энергии деформации в элементах, составляющих систему.
Виртуальную внутреннюю работу в правой части приведенного выше уравнения можно найти, суммируя виртуальную работу, проделанную над отдельными элементами. Последнее требует использования функций «сила-смещение», которые описывают реакцию для каждого отдельного элемента. Следовательно, смещение структуры описывается коллективной реакцией отдельных (дискретных) элементов. Уравнения записываются только для небольшой области отдельных элементов конструкции, а не для одного уравнения, описывающего реакцию системы в целом (континуум). Последнее привело бы к неразрешимой проблеме, отсюда и полезность метода конечных элементов. Как показано в следующих разделах, уравнение ( 1 ) приводит к следующему основному уравнению равновесия для системы:
( 2 )
где
- = вектор узловых сил, представляющих внешние силы, приложенные к узлам системы.
- = матрица жесткости системы, которая представляет собой совокупный эффект матриц жесткости отдельных элементов : .
- = вектор узловых перемещений системы.
- = Вектор эквивалентных узловых сил, представляющих все , кроме узловых сил , которые уже включены в предыдущей узловой вектор силы внешних эффектов R . Эти внешние воздействия могут включать распределенные или сосредоточенные поверхностные силы, объемные силы, тепловые эффекты, начальные напряжения и деформации.
После учета ограничений опор узловые перемещения находятся путем решения системы линейных уравнений ( 2 ), символически:
( 3 )
Впоследствии деформации и напряжения в отдельных элементах могут быть найдены следующим образом:
( 4 )
( 5 )
где
- = вектор узловых перемещений - подмножество вектора перемещений системы r , относящееся к рассматриваемым элементам.
- = матрица деформаций-смещений, которая преобразует узловые смещения q в деформации в любой точке элемента.
- = матрица упругости, преобразующая эффективные деформации в напряжения в любой точке элемента.
- = вектор начальных деформаций в элементах.
- = вектор начальных напряжений в элементах.
Применяя уравнение виртуальной работы ( 1 ) к системе, мы можем установить матрицы элементов, а также технику сборки системных матриц а также . Другие матрицы, такие как, , а также являются известными значениями и могут быть установлены непосредственно при вводе данных.
Функции интерполяции или формы
Позволять - вектор узловых перемещений типового элемента. Смещения в любой другой точке элемента можно найти с помощью функций интерполяции, как символически:
( 6 )
где
- = вектор перемещений в любой точке {x, y, z} элемента.
- = матрица функций формы, служащих функциями интерполяции .
Уравнение ( 6 ) порождает другие представляющие большой интерес величины:
- Виртуальные смещения, являющиеся функцией виртуальных узловых смещений:
( 6b )
- Деформации в элементах, возникающие в результате смещения узлов элемента:
( 7 )
где = матрица дифференциальных операторов , преобразующих перемещения в деформации с использованием линейной теории упругости . Уравнение ( 7 ) показывает, что матрица B в ( 4 ) имеет вид
( 8 )
- Виртуальные деформации, соответствующие виртуальным узловым смещениям элемента:
( 9 )
Внутренняя виртуальная работа в типичном элементе
Для типичного элемента объема , внутренняя виртуальная работа за счет виртуальных перемещений получается подстановкой ( 5 ) и ( 9 ) в ( 1 ):
( 10 )
Матрицы элементов
В первую очередь для удобства справки теперь могут быть определены следующие матрицы, относящиеся к типичным элементам:
- Матрица жесткости элемента
( 11 )
- Эквивалентный вектор нагрузки элемента
( 12 )
Эти матрицы обычно вычисляются численно с использованием квадратуры Гаусса для численного интегрирования . Их использование упрощает ( 10 ) до следующего:
( 13 )
Виртуальная работа элемента с точки зрения узловых перемещений системы
Поскольку вектор узловых смещений q является подмножеством узловых смещений системы r (для совместимости со смежными элементами), мы можем заменить q на r , увеличив размер матриц элементов новыми столбцами и строками нулей:
( 14 )
где для простоты мы используем те же символы для матриц элементов, которые теперь имеют увеличенный размер, а также соответствующим образом переставленные строки и столбцы.
Системная виртуальная работа
Суммирование внутренней виртуальной работы ( 14 ) для всех элементов дает правую часть ( 1 ):
( 15 )
Учитывая теперь левую часть ( 1 ), внешняя виртуальная работа системы состоит из:
- Работа узловых сил R :
( 16 )
- Работа, совершаемая внешними силами со стороны кромок или поверхностей элементов, а также силами тела
( 17а )
где мы ввели дополнительные матрицы элементов, определенные ниже:
( 18а )
( 18b )
Опять же, для их оценки удобно численное интегрирование . Аналогичная замена q в ( 17a ) на r дает после перестановки и расширения векторов:
( 17b )
Сборка системных матриц
Складывая ( 16 ), ( 17b ) и приравнивая сумму к ( 15 ), получаем:
Поскольку виртуальные перемещения произвольны, предыдущее равенство сводится к:
Сравнение с ( 2 ) показывает, что:
- Матрица жесткости системы получается суммированием матриц жесткости элементов:
- Вектор эквивалентных узловых сил получается путем суммирования векторов нагрузок элементов:
На практике матрицы элементов не расширяются и не переупорядочиваются. Вместо этого матрица жесткости системы собирается путем добавления индивидуальных коэффициентов к где индексы ij, kl означают, что узловые перемещения элемента совпадают соответственно с узловыми перемещениями системы . По аналогии, собирается путем добавления индивидуальных коэффициентов к где Спички . Это прямое добавление в дает этой процедуре название Метод прямой жесткости .
Смотрите также
- Метод конечных элементов
- Метод гибкости
- Матричный метод жесткости
- Модальный анализ с использованием МКЭ
- Список пакетов программного обеспечения для конечных элементов
- Структурный анализ
- Виртуальная работа
- Интервальный конечный элемент
Рекомендации
- ^ Матричный анализ рамных структур, 3-е издание младшего Уильяма Уивера, Джеймса М. Гира, Springer-Verlag New York, LLC, ISBN 978-0-412-07861-3 , 1966
- ^ Теория матричного структурного анализа , JS Przemieniecki, McGraw-Hill Book Company, Нью-Йорк, 1968
- ^ Хинтон, Эрнест; Айронс, Брюс (июль 1968 г.). «Сглаживание экспериментальных данных методом наименьших квадратов с использованием конечных элементов». Напряжение . 4 (3): 24–27. DOI : 10.1111 / j.1475-1305.1968.tb01368.x .
- ^ Аргирис, Дж. Х. и Келси, С. Энергетические теоремы и структурный анализ. Научные публикации Баттерворта, Лондон, 1954
- ^ Клаф, RW, «Конечный элемент в анализе плоских напряжений». Труды 2-й конференции ASCE по электронным вычислениям, Питтсбург, сентябрь 1960 г.