Принцип минимальной полной потенциальной энергии

Принцип минимума полной потенциальной энергии - это фундаментальное понятие, используемое в физике и технике . Он диктует, что при низких температурах конструкция или тело должны деформироваться или смещаться в положение, которое (локально) минимизирует общую потенциальную энергию , а потерянная потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию (в частности, тепло).

Некоторые примеры [ править ]

• Свободный протон и свободный электрон будут стремиться объединиться, чтобы сформировать состояние с наименьшей энергией ( основное состояние ) атома водорода , наиболее стабильную конфигурацию . Это потому, что энергия этого состояния на 13,6 электронвольт (эВ) ниже, чем когда две частицы разделены бесконечным расстоянием . Диссипации в этой системе принимает форму спонтанного излучения от электромагнитного излучения , что увеличивает энтропию на окрестности.
• Катящийся шар остановится у подножия холма, точки минимума потенциальной энергии. Причина в том, что когда он катится вниз под действием силы тяжести , трение, создаваемое его движением, передает энергию в виде тепла окружающей среде с сопутствующим увеличением энтропии.
• Белок сворачивается в состояние наименьшей потенциальной энергии . В этом случае диссипация принимает форму колебаний атомов внутри или рядом с белком.

Структурная механика [ править ]

Полная потенциальная энергия, представляет собой сумму энергии упругой деформации U , запасенной в деформируемом теле, и потенциальной энергии V , связанной с приложенными силами: ^[1]${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}}}$

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ Pi}} = \ mathbf {U} + \ mathbf {V}}$

( 1 )

Эта энергия находится в стационарном положении, когда бесконечно малое отклонение от такого положения не приводит к изменению энергии: ^[1]

${\ displaystyle \ delta {\ boldsymbol {\ Pi}} = \ delta (\ mathbf {U} + \ mathbf {V}) = 0}$

( 2 )

Принцип минимума полной потенциальной энергии может быть получен как частный случай принципа виртуальной работы для упругих систем, подверженных действию консервативных сил .

Равенство между внешней и внутренней виртуальной работой (из-за виртуальных перемещений):

${\ displaystyle \ int _ {S_ {t}} \ delta \ \ mathbf {u} ^ {T} \ mathbf {T} dS + \ int _ {V} \ delta \ \ mathbf {u} ^ {T} \ mathbf {f} dV = \ int _ {V} \ delta {\ boldsymbol {\ epsilon}} ^ {T} {\ boldsymbol {\ sigma}} dV}$

( 3 )

где

${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ = вектор перемещений

${\displaystyle \mathbf {T} }$= вектор распределенных сил, действующих на часть поверхности${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle \mathbf {f} }$ = вектор телесных сил

В частном случае упругих тел правую часть ( 3 ) можно принять за изменение энергии упругой деформации U из-за бесконечно малых вариаций реальных перемещений. Кроме того, когда внешние силы консервативные силы , левая сторона уравнения ( 3 ) можно рассматривать как изменение потенциальной энергии функции V сил. Функция V определяется как: ^[2]${\displaystyle \delta \mathbf {U} }$

${\displaystyle \mathbf {V} =-\int _{S_{t}}\mathbf {u} ^{T}\mathbf {T} dS-\int _{V}\mathbf {u} ^{T}\mathbf {f} dV}$

где знак минус означает потерю потенциальной энергии при перемещении силы в ее направлении. С этими двумя дополнительными условиями ( 3 ) становится:

${\displaystyle -\delta \ \mathbf {V} =\delta \ \mathbf {U} }$

Это приводит к ( 2 ), что и нужно . Вариационная форма ( 2 ) часто используется в качестве основы для разработки метода конечных элементов в строительной механике .

Ссылки [ править ]