Преобразование Ван Вейнгаардена

В математике и численном анализе , чтобы ускорить сходимость чередующегося ряда , преобразование Эйлера можно вычислить следующим образом.

Вычислите строку частичных сумм:

${\ displaystyle s_ {0, k} = \ sum _ {n = 0} ^ {k} (- 1) ^ {n} a_ {n}}$

и формируем ряды средних между соседями,

${\ displaystyle \, s_ {j + 1, k} = {\ frac {s_ {j, k} + s_ {j, k + 1}} {2}}}$

Тогда первый столбец содержит частичные суммы преобразования Эйлера.${\ displaystyle \ scriptstyle s_ {j, 0}}$

Вклад Адриана ван Вейнгаардена состоял в том, чтобы указать, что лучше не доводить эту процедуру до конца, а останавливать две трети пути. ^[1] Если есть, то почти всегда это лучшее приближение к сумме, чем${\ displaystyle \ scriptstyle a_ {0}, a_ {1}, \ ldots, a_ {12}}$${\ displaystyle \ scriptstyle s_ {8,4}}$${\ displaystyle \ scriptstyle s \, _ {12,0}.}$

Формула Лейбница для пи , дает частичную сумму , Эйлер преобразование частичной суммы и результату ван Вейнгаардена (относительные ошибки в круглых скобках).${\ displaystyle \ scriptstyle 1 - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ cdots = {\ frac {\ pi} {4}} = 0,7853981 \ ldots}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \, s_ {0,12} = 0,8046006 ... (+ 2,4 \%)}$${\ displaystyle \ scriptstyle \, s_ {12,0} = 0,7854002 ... (+ 2,6 \ times 10 ^ {- 6})}$${\ displaystyle \ scriptstyle \, s_ {8,4} = 0,7853982 ... (+ 4,7 \ times 10 ^ {- 8})}$

0,83333333 0,76666667 0,79523810 0,77936508 0,78946609 0,78247308 0,78760129 0,78367972 0,78677569 0,78426943 0,78633982 0,78460069 0,80000000 0,78095238 0,78730159 0,78441558 0,78596959 0,78503719 0,78564050 0,78522771 0,78552256 0,78530463 0,78547026 0,79047619 0,78412698 0,78585859 0,78519259 0,78550339 0,78533884 0,78543410 0,78537513 0,78541359 0,78538744 0,78730159 0,78499278 0,78552559 0,78534799 0,78542111 0,78538647 0,78540462 0,78539436 0,78540052 0,78614719 0,78525919 0,78543679 0,78538455 0,78540379 0,78539555 0,78539949 0,78539744 0,78570319 0,78534799 0,78541067 0,78539417 0,78539967 0,78539752 0,78539847 0,78552559 0,78537933 0,78540242 0,78539692 0,78539860 0,78539799 0,78545246 0,78539087 0,78539967 0,78539776 0,78539829 0,78542166 0,78539527 0,78539871 0,78539803 0,78540847 0,78539699 0,78539837 0,78540273 0,78539768 

Эта таблица является результатом формулы J 'b11.8'8!: 2 -: & (}: +}.) ^: N + / \ (_ 1 ^ n) *% 1 + 2 * n = .i.13 Во многих В случаях, когда диагональные члены не сходятся за один цикл, процесс усреднения должен повторяться с диагональными членами, помещая их в ряд. Это понадобится в геометрическом ряду с коэффициентом -4. Этот процесс последовательного усреднения средней частичной суммы можно заменить использованием формулы для вычисления диагонального члена.

Ссылки [ править ]

См. Также [ править ]

Суммирование по Эйлеру