Виртуальный узел
[Расширение полинома Джонса на общие 3-многообразия.] Можно ли исходный полином Джонса , определенный для 1-зацеплений в 3-сфере (3-шар, 3-пространство R3), распространить на 1-зацепления в любое 3-многообразие?
В теории узлов виртуальный узел является обобщением узлов в 3-мерном евклидовом пространстве , R 3 , до узлов на утолщенных поверхностях по модулю отношения эквивалентности, называемого стабилизацией/дестабилизацией. Здесь требуется быть замкнутым и ориентированным. Впервые виртуальные узлы были введены Кауфманом (1999) .
![{\ Displaystyle \ сигма \ раз [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8345a9efebafd1b3bb6f17e91eccdb0f479869e6)
В теории классических узлов узлы можно рассматривать как классы эквивалентности диаграмм узлов при движениях Рейдемейстера . Точно так же виртуальный узел можно рассматривать как эквивалентность диаграмм виртуальных узлов, которые эквивалентны относительно обобщенных движений Рейдемейстера. Виртуальные узлы допускают существование, например, узлов, коды Гаусса которых не могут существовать в трехмерном евклидовом пространстве . Диаграмма виртуального узла представляет собой 4-валентный планарный граф, но теперь каждой вершине разрешено быть классическим пересечением или новым типом, называемым виртуальным. Обобщенные ходы показывают, как манипулировать такими диаграммами, чтобы получить эквивалентную диаграмму; одно движение, называемое полувиртуальным, включает в себя как классические, так и виртуальные пересечения, но все остальные движения включают только одну разновидность пересечения.
Виртуальные узлы важны, и между квантовой теорией поля и виртуальными узлами существует тесная связь. [ нужна ссылка ]
Виртуальные узлы сами по себе являются интересными объектами и имеют множество связей с другими областями математики. Виртуальные узлы имеют много интересных связей с другими областями теории узлов. Показанная нерешенная проблема является важной мотивацией для изучения виртуальных узлов.
См. раздел 1.1 этой статьи [KOS][1]для получения дополнительной информации об истории этой проблемы. Кауфман представил решение в случае многообразия произведений замкнутой ориентированной поверхности и замкнутого интервала путем введения виртуальных 1-узлов. [2]В остальных случаях он открыт. Континуальный интеграл Виттена для полинома Джонса записывается для зацеплений в любом компактном 3-многообразии формально, но расчет не производится даже на физическом уровне ни в каком случае, кроме 3-сферы (3-шара, 3-пространства R3). Эта проблема также открыта на уровне физики. В случае многочлена Александера эта проблема решена.