Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , пара Wieferich есть пара простых чисел р и д , удовлетворяющие

p q - 1 ≡ 1 ( mod q 2 ) и q p - 1 ≡ 1 (mod p 2 )

Пары Вифериха названы в честь немецкого математика Артура Вифериха . Пары Вифериха играют важную роль в доказательстве Преда Михайлеску 2002 года [1] теоремы Михайлеску (ранее известной как гипотеза Каталонии). [2]

Известные пары Вифериха [ править ]

Известно всего 7 пар Вифериха: [3] [4]

(2, 1093), (3, 1006003), (5, 1645333507), (5, 188748146801), (83, 4871), (911, 318917) и (2903, 18787). (последовательность OEIS :  A124121 и OEIS :  A124122 в OEIS )

Виферих тройной [ править ]

Wieferich тройной является тройкой простых чисел р , д и г , удовлетворяющий

p q - 1 ≡ 1 (mod q 2 ), q r - 1 ≡ 1 (mod r 2 ) и r p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ).

Известно 17 троек Вифериха:

(2, 1093, 5), (2, 3511, 73), (3, 11, 71), (3, 1006003, 3188089), (5, 20771, 18043), (5, 20771, 950507), (5 , 53471161, 193), (5, 6692367337, 1601), (5, 6692367337, 1699), (5, 188748146801, 8807), (13, 863, 23), (17, 478225523351, 2311), (41, 138200401 , 2953), (83, 13691, 821), (199, 1843757, 2251), (431, 2393, 54787) и (1657, 2281, 1667). (последовательности OEIS :  A253683 , OEIS :  A253684 и OEIS :  A253685 в OEIS )

Последовательность Баркера [ править ]

Последовательность Баркера или n -набор Вифериха является обобщением пары Вифериха и тройки Вифериха. Это простые числа ( p 1 , p 2 , p 3 , ..., p n ) такие, что

p 1 p 2 - 1 ≡ 1 (mod p 2 2 ), p 2 p 3 - 1 ≡ 1 (mod p 3 2 ), p 3 p 4 - 1 ≡ 1 (mod p 4 2 ), ..., p n −1 p n - 1 1 (mod p n 2 ), p n p 1 - 1 ≡ 1 (mod p 1 2 ). [5]

Например, (3, 11, 71, 331, 359) - последовательность Баркера или 5-кортеж Вифериха; (5, 188748146801, 453029, 53, 97, 76704103313, 4794006457, 12197, 3049, 41) - последовательность Баркера или 10-кортеж Вифериха.

Для наименьшего n -кортежа Вифериха см. OEIS :  A271100 , для упорядоченного набора всех кортежей Вифериха см. OEIS :  A317721 .

Последовательность Вифериха [ править ]

Последовательность Вифериха - это особый тип последовательности Баркера. Каждое целое число k > 1 имеет свою последовательность Вифериха. Чтобы сделать последовательность Вифериха из целого числа k > 1, начните с a (1) = k , a ( n ) = наименьшее простое число p такое, что a ( n -1) p -1 = 1 (mod p ), но a ( n -1) ≠ 1 или -1 (mod p ). Это гипотеза, что каждое целое число k > 1 имеет периодическую последовательность Вифериха. Например, последовательность Вифериха из 2:

2, 1093, 5, 20771, 18043, 5, 20771, 18043, 5, ..., он получает цикл: {5, 20771, 18043}. (тройка Вифериха)

Последовательность Вифериха 83:

83, 4871, 83, 4871, 83, 4871, 83, ..., он получает цикл: {83, 4871}. (пара Вифериха)

Последовательность Вифериха из 59: (эта последовательность требует большего количества членов, чтобы быть периодическими)

59, 2777, 133287067, 13, 863, 7, 5, 20771, 18043, 5, ... он также получает 5.

Однако существует множество значений a (1) с неизвестным статусом. Например, последовательность Вифериха из 3:

3, 11, 71, 47,? (Нет известных простых чисел Вифериха в базе 47).

Последовательность Вифериха 14:

14, 29,? (Нет известных простых чисел Вифериха в основании 29, кроме 2, но 2 2 = 4 делит 29 - 1 = 28)

Последовательность Вифериха из 39:

39, 8039, 617, 101, 1050139, 29,? (Также получает 29)

Неизвестно, существуют ли такие значения для k , что последовательность Вифериха для k не становится периодической. В конце концов, неизвестно, существуют ли такие значения для k , что последовательность Вифериха для k конечна.

Когда a ( n - 1) = k , a ( n ) будет (начиная с k = 2): 1093, 11, 1093, 20771, 66161, 5, 1093, 11, 487, 71, 2693, 863, 29, 29131, 1093, 46021, 5, 7, 281,?, 13, 13, 25633, 20771, 71, 11, 19,?, 7, 7, 5, 233, 46145917691, 1613, 66161, 77867, 17, 8039, 11, 29, 23, 5, 229, 1283, 829,?, 257, 491531,?, ... (Для k = 21, 29, 47, 50 даже следующее значение неизвестно)

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Preda Mihailescu (2004). «Первичные циклотомические единицы и доказательство гипотезы Каталонии». J. Reine Angew. Математика. 2004 (572): 167–195. DOI : 10,1515 / crll.2004.048 . Руководство по ремонту  2076124 .
  2. ^ Жанин Дэмс Циклотомическое доказательство гипотезы Каталонии .
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Двойная простая пара Вифериха" . MathWorld .
  4. ^ OEIS :  A124121 , Например, в настоящее время известны две пары простых чисел Вифериха (p, q) с q = 5: (1645333507, 5) и (188748146801, 5).
  5. ^ Список всех известных последовательностей Баркера

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Билу, Юрий Ф. (2004). «Гипотеза Каталонии (по Михайлеску)». Astérisque . 294 : vii, 1-26. Zbl  1094.11014 .
  • Эрнвалль, Рейо; Metsänkylä, Tauno (1997). «О p- делимости частных Ферма» . Математика. Комп. 66 (219): 1353–1365. Bibcode : 1997MaCom..66.1353E . DOI : 10.1090 / S0025-5718-97-00843-0 . Руководство по ремонту  1408373 . Zbl  0903.11002 .
  • Штайнер, Рэй (1998). «Границы числа классов и уравнение Каталонии» . Математика. Комп . 67 (223): 1317–1322. Bibcode : 1998MaCom..67.1317S . DOI : 10.1090 / S0025-5718-98-00966-1 . Руководство по ремонту  1468945 . Zbl  0897.11009 .