Дзета-функция Виттена

В математике , то дзета - функция Виттена , является функцией , связанной с корневой системой , которая кодирует степени в неприводимых представлениях соответствующей группы Ли . Эти дзета-функции были введены Доном Загиром, который назвал их в честь исследования Эдварда Виттена их особых значений (среди прочего). ^[1]^[2] Обратите внимание, что в, ^[2] дзета-функции Виттена не появляются как явные объекты сами по себе.

Определение [ править ]

Если - компактная полупростая группа Ли, ассоциированная дзета-функция Виттена является (мероморфным продолжением) ряда ${\ displaystyle G}$

{\ displaystyle \ zeta _ {G} (s) = \ sum _ {\ rho} {\ frac {1} {(\ dim \ rho) ^ {s}}},}

где сумма берется по классам эквивалентности неприводимых представлений . ${\ displaystyle G}$

В случае связного и односвязного соответствия между представлениями алгебры Ли и ее алгебры Ли вместе с формулой размерности Вейля следует, что это можно записать как ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {G} (s)}$

{\ displaystyle \ sum _ {m_ {1}, \ dots, m_ {r}> 0} \ prod _ {\ alpha \ in \ Phi ^ {+}} {\ frac {1} {\ langle \ alpha ^ { \ lor}, m_ {1} \ lambda _ {1} + \ cdots + m_ {r} \ lambda _ {r} \ rangle ^ {s}}},}

где обозначает множество положительных корней, является набором простых корней и является рангом. ${\ displaystyle \ Phi ^ {+}}$ ${\ Displaystyle \ {\ lambda _ {я} \}}$ ${\ displaystyle r}$

Примеры [ править ]

$\zeta _{SU(2)}(s)=\zeta (s)$ , дзета-функция Римана.
$\zeta _{SU(3)}(s)=\sum _{x=1}^{\infty }\sum _{y=1}^{\infty }{\frac {1}{(xy(x+y)/2)^{s}}}.$

Абсцисса схождения [ править ]

Если простая и односвязная, абсцисса сходимости равна , где - ранг и . Эта теорема принадлежит Алексу Любоцки и Майклу Ларсену. ^[3] Новое доказательство дано Йокке Хасей и Александром Стасински ^[4], которое дает более общий результат, а именно дает явное значение (в терминах простой комбинаторики) абсциссы сходимости любой "дзета-функции Меллина" форма $G$ $\zeta _{G}(s)$ $r/\kappa$ $r$ $\kappa =|\Phi ^{+}|$

$\sum _{x_{1},\dots ,x_{r}=1}^{\infty }{\frac {1}{P(x_{1},\dots ,x_{r})^{s}}},$

где - произведение линейных многочленов с неотрицательными действительными коэффициентами. $P(x_{1},\dots ,x_{r})$

Ссылки [ править ]

^ Загира, Дон (1994), "Значения дзета - функций и их приложения", Первый Европейский конгресс математики Париж, 6-10 июля 1992 года , Birkhäuser Базель, С. 497-512,. DOI : 10.1007 / 978-3-0348 -9112-7_23 , ISBN 9783034899123
^ ^a ^b Виттен, Эдвард (октябрь 1991 г.). «О квантовых калибровочных теориях в двух измерениях». Сообщения по математической физике . 141 (1): 153–209. DOI : 10.1007 / bf02100009 . ISSN 0010-3616 .
^ Ларсен, Майкл; Любоцкий, Александр (2008). «Представительный рост линейных групп». Журнал Европейского математического общества . 10 (2): 351–390. arXiv : math / 0607369 . DOI : 10.4171 / Jems / 113 . ISSN 1435-9855 .
^ Häsä, Jokke; Стасинский, Александр (2019). «Представительный рост компактных линейных групп» . Труды Американского математического общества . 372 (2): 925–980. DOI : 10,1090 / тран / 7618 .

Эта статья по алгебре незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Загира, Дон (1994), "Значения дзета - функций и их приложения", Первый Европейский конгресс математики Париж, 6-10 июля 1992 года , Birkhäuser Базель, С. 497-512,. DOI : 10.1007 / 978-3-0348 -9112-7_23 , ISBN 9783034899123

[:0-2] Виттен, Эдвард (октябрь 1991 г.). «О квантовых калибровочных теориях в двух измерениях». Сообщения по математической физике . 141 (1): 153–209. DOI : 10.1007 / bf02100009 . ISSN 0010-3616 .

[3] Ларсен, Майкл; Любоцкий, Александр (2008). «Представительный рост линейных групп». Журнал Европейского математического общества . 10 (2): 351–390. arXiv : math / 0607369 . DOI : 10.4171 / Jems / 113 . ISSN 1435-9855 .

[4] Häsä, Jokke; Стасинский, Александр (2019). «Представительный рост компактных линейных групп» . Труды Американского математического общества . 372 (2): 925–980. DOI : 10,1090 / тран / 7618 .

[1]