В математике , то дзета - функция Виттена , является функцией , связанной с корневой системой , которая кодирует степени в неприводимых представлениях соответствующей группы Ли . Эти дзета-функции были введены Доном Загиром, который назвал их в честь исследования Эдварда Виттена их особых значений (среди прочего). [1] [2] Обратите внимание, что в, [2] дзета-функции Виттена не появляются как явные объекты сами по себе.
Определение [ править ]
Если - компактная полупростая группа Ли, ассоциированная дзета-функция Виттена является (мероморфным продолжением) ряда
где сумма берется по классам эквивалентности неприводимых представлений .
В случае связного и односвязного соответствия между представлениями алгебры Ли и ее алгебры Ли вместе с формулой размерности Вейля следует, что это можно записать как
где обозначает множество положительных корней, является набором простых корней и является рангом.
Примеры [ править ]
- , дзета-функция Римана.
Абсцисса схождения [ править ]
Если простая и односвязная, абсцисса сходимости равна , где - ранг и . Эта теорема принадлежит Алексу Любоцки и Майклу Ларсену. [3] Новое доказательство дано Йокке Хасей и Александром Стасински [4], которое дает более общий результат, а именно дает явное значение (в терминах простой комбинаторики) абсциссы сходимости любой "дзета-функции Меллина" форма
где - произведение линейных многочленов с неотрицательными действительными коэффициентами.
Ссылки [ править ]
- ^ Загира, Дон (1994), "Значения дзета - функций и их приложения", Первый Европейский конгресс математики Париж, 6-10 июля 1992 года , Birkhäuser Базель, С. 497-512,. DOI : 10.1007 / 978-3-0348 -9112-7_23 , ISBN 9783034899123
- ^ a b Виттен, Эдвард (октябрь 1991 г.). «О квантовых калибровочных теориях в двух измерениях». Сообщения по математической физике . 141 (1): 153–209. DOI : 10.1007 / bf02100009 . ISSN 0010-3616 .
- ^ Ларсен, Майкл; Любоцкий, Александр (2008). «Представительный рост линейных групп». Журнал Европейского математического общества . 10 (2): 351–390. arXiv : math / 0607369 . DOI : 10.4171 / Jems / 113 . ISSN 1435-9855 .
- ^ Häsä, Jokke; Стасинский, Александр (2019). «Представительный рост компактных линейных групп» . Труды Американского математического общества . 372 (2): 925–980. DOI : 10,1090 / тран / 7618 .