Фильтр Бесселя

В электроники и обработки сигналов , A фильтр Бесселя представляет собой тип аналогового линейного фильтра с максимально плоской групповой задержки / фазы (максимально линейной фазовой характеристикой ), который сохраняет форму волны отфильтрованных сигналов в полосе пропускания. ^[1] Фильтры Бесселя часто используются в системах кроссовера звука .

Название фильтра - отсылка к немецкому математику Фридриху Бесселю (1784–1846), который разработал математическую теорию, на которой основан фильтр. Фильтры также называются фильтрами Бесселя – Томсона в честь У. Э. Томсона, который разработал, как применять функции Бесселя для проектирования фильтров в 1949 году. ^[2] (Фактически, статья Киясу из Японии предшествует этому на несколько лет ^{[3]. ] [4]} )

Фильтр Бесселя очень похож на фильтр Гаусса и имеет тенденцию к той же форме, когда порядок фильтра увеличивается. ^{[5] [6]} Хотя ступенчатая характеристика фильтра Гаусса во временной области имеет нулевой выброс , ^[7] фильтр Бесселя имеет небольшой выброс, ^{[8] [9],} но все же намного меньший, чем обычные фильтры частотной области.

По сравнению с приближениями конечного порядка фильтра Гаусса, фильтр Бесселя имеет лучший коэффициент формирования, более плоскую фазовую задержку и более плоскую групповую задержку, чем гауссовский фильтр того же порядка, хотя гауссовский фильтр имеет меньшую временную задержку и нулевой выброс. ^[10]

Передаточная функция [ править ]

Фильтр нижних частот Бесселя характеризуется своей передаточной функцией : ^[11]

${\ displaystyle H (s) = {\ frac {\ theta _ {n} (0)} {\ theta _ {n} (s / \ omega _ {0})}} \,}$

где - обратный полином Бесселя, по которому фильтр получил свое название, и частота, выбранная для получения желаемой частоты среза. Фильтр имеет низкочастотную групповую задержку . Поскольку неопределен по определению обратных многочленов Бесселя, но является устранимой особенностью, определяется, что .${\ displaystyle \ theta _ {n} (s)}$${\ displaystyle \ omega _ {0}}$${\ displaystyle 1 / \ omega _ {0}}$${\ Displaystyle \ theta _ {п} (0)}$${\ displaystyle \ theta _ {n} (0) = \ lim _ {x \ rightarrow 0} \ theta _ {n} (x)}$

Многочлены Бесселя [ править ]

Передаточная функция фильтра Бесселя - это рациональная функция , знаменателем которой является обратный многочлен Бесселя , например следующий:

${\ displaystyle n = 1; \ quad s + 1}$

${\ displaystyle n = 2; \ quad s ^ {2} + 3s + 3}$

${\ displaystyle n = 3; \ quad s ^ {3} + 6s ^ {2} + 15s + 15}$

${\ displaystyle n = 4; \ quad s ^ {4} + 10s ^ {3} + 45s ^ {2} + 105s + 105}$

${\ displaystyle n = 5; \ quad s ^ {5} + 15s ^ {4} + 105s ^ {3} + 420s ^ {2} + 945s + 945}$

Обратные многочлены Бесселя даются следующим образом: ^[11]

${\ displaystyle \ theta _ {n} (s) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} s ^ {k},}$

куда

${\ displaystyle a_ {k} = {\ frac {(2n-k)!} {2 ^ {nk} k! (nk)!}} \ quad k = 0,1, \ ldots, n.}$

Пример [ править ]

Передаточная функция для фильтра нижних частот Бесселя третьего порядка (трехполюсного) с :${\ displaystyle \ omega _ {0} = 1}$

${\displaystyle H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}},}$

где числитель был выбран для получения единичного усиления при нулевой частоте ( s = 0). Корни полинома знаменателя, полюса фильтра, включают действительный полюс при s = −2,3222 и комплексно-сопряженную пару полюсов при s = −1,8389 ± j 1,7544 , график выше.

Тогда выигрыш

${\displaystyle G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {15}{\sqrt {\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}}.\,}$

Точка 3 дБ, в которой происходит это, обычно называется частотой среза.${\displaystyle |H(j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {2}}},\,}$${\displaystyle \omega =1.756.\,}$

Фаза

${\displaystyle \phi (\omega )=-\arg(H(j\omega ))=\arctan \left({\frac {15\omega -\omega ^{3}}{15-6\omega ^{2}}}\right).\,}$

Групповая задержка является

${\displaystyle D(\omega )=-{\frac {d\phi }{d\omega }}={\frac {6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}{\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}.\,}$

Ряд Тейлора расширение групповой задержки

${\displaystyle D(\omega )=1-{\frac {\omega ^{6}}{225}}+{\frac {\omega ^{8}}{1125}}+\cdots .}$

Обратите внимание, что два члена в ω ² и ω ⁴ равны нулю, что приводит к очень плоской групповой задержке при ω = 0 . Это наибольшее количество членов, которое может быть установлено равным нулю, поскольку в полиноме Бесселя третьего порядка всего четыре коэффициента, для определения которых требуется четыре уравнения. Одно уравнение определяет, что коэффициент усиления равен единице при ω = 0, а второй указывает, что коэффициент усиления равен нулю при ω = ∞ , оставляя два уравнения для определения двух членов в разложении ряда равными нулю. Это общее свойство групповой задержки для фильтра Бесселя порядка n : первые n - 1члены в разложении групповой задержки в ряд будут равны нулю, что максимизирует равномерность групповой задержки при ω = 0 .

Цифровой [ править ]

Поскольку важной характеристикой фильтра Бесселя является его максимально плоская групповая задержка, а не амплитудный отклик, нецелесообразно использовать билинейное преобразование для преобразования аналогового фильтра Бесселя в цифровую форму (поскольку это сохраняет амплитудный отклик, но не групповая задержка).

Цифровым эквивалентом является фильтр Тирана, также всеполюсный фильтр нижних частот с максимально плоской групповой задержкой ^{[12] [13],} который также может быть преобразован в многопроходный фильтр для реализации дробных задержек. ^{[14] [15]}

См. Также [ править ]

• Фильтр Баттерворта
• Гребенчатый фильтр
• Фильтр Чебышева
• Эллиптический фильтр
• Функция Бесселя
• Групповая задержка и фазовая задержка

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Фильтры Бесселя и линейные фазовые фильтры - Nuhertz
• Константы фильтра Бесселя - CR Bond
• Полиномы, полюса и элементы схемы фильтров Бесселя - CR Bond
• Исходный код Java для вычисления полюсов фильтра Бесселя