m-производный фильтр

Части этой статьи или раздела полагаться на знания читателя комплексного импеданса представления конденсаторов и катушек индуктивности и на знании частотной области представления сигналов .

Фильтры на основе m или фильтры m-типа представляют собой тип электронного фильтра, созданного с использованием метода изображения . Их изобрел Отто Зобель в начале 1920-х годов. ^[1] Этот тип фильтра изначально предназначался для использования с телефонным мультиплексированием и являлся усовершенствованием существующего фильтра типа постоянного k . ^[2]Основная проблема, которую решали, заключалась в необходимости добиться лучшего согласования фильтра с оконечным сопротивлением. В общем, все фильтры, разработанные методом изображения, не дают точного совпадения, но фильтр m-типа является большим улучшением с подходящим выбором параметра m. Секция м-тип фильтр имеет дополнительное преимущество в том , что есть быстрый переход от частоты среза в полосе частот до полюса от ослабления только внутри стоп - зоны. Несмотря на эти преимущества, фильтры m-типа имеют недостаток; на частотах, превышающих полюс затухания, отклик снова начинает нарастать, и m-типы имеют плохое подавление полосы задерживания. По этой причине фильтры, разработанные с использованием секций m-типа, часто проектируются как составные фильтры со смесью секций k-типа и m-типа и разными значениями m в разных точках, чтобы получить оптимальную производительность от обоих типов. ^[3]

Фон [ править ]

Zobel запатентовал сеть согласования импеданса в 1920 году ^[5], которая, по сути, использовала топологию того, что сейчас называется фильтрами m-типа, но Zobel не называл их таковыми и не анализировал их методом изображения. Это предшествовало публикации Джорджа Кэмпбелла в 1922 году его постоянной конструкции k-типа, на которой основан фильтр m-типа. ^[6] Зобель опубликовал теорию анализа изображений для фильтров m-типа в 1923 году. ^[7] Некогда популярные фильтры M-типа и фильтры, разработанные с помощью параметров изображения, в настоящее время разрабатываются редко, их заменяют более продвинутые методы сетевого синтеза . ^[8]

Вывод [ править ]

Полусекция шунтирующего ФНЧ на основе m.
${\ displaystyle C = {\ frac {L} {R_ {0} ^ {2}}}}$

Строительный блок из т полученных фильтров, как и со всеми фильтрами изображения импеданса, является «L» , сеть, называется половинное сечение и состоит из серии импеданса Z и шунт проводимость Y . Фильтр, производный от m, является производным от фильтра с постоянным k . Отправной точкой дизайна являются значения Z и Y, полученные из прототипа с константой k, которые задаются выражением

${\ Displaystyle к ^ {2} = {\ гидроразрыва {Z} {Y}}}$

где k - номинальное сопротивление фильтра, или R ₀ . Теперь конструктор умножает Z и Y на произвольную константу m (0 < m <1). Есть два разных вида секций, производных от m; серия и шунт. Чтобы получить полусекцию серии m, полученную из m, разработчик определяет импеданс, который должен быть добавлен к 1 / mY, чтобы сделать импеданс изображения Z_iT таким же, как импеданс изображения исходной постоянной k-части. Из общей формулы для импеданса изображения можно показать, что дополнительный импеданс равен ^[9]

${\ displaystyle {\ frac {1-m ^ {2}} {m}} Z.}$

Чтобы получить полученную из m полусекцию шунта, проводимость добавляется к 1 / mZ, чтобы сделать импеданс изображения Z _iΠтаким же, как импеданс изображения исходной полусекции. Можно показать, что требуемый дополнительный допуск составляет ^[10]

${\ displaystyle {\ frac {1-m ^ {2}} {m}} Y.}$

Общее расположение этих схем показано на диаграммах справа вместе с конкретным примером секции нижних частот.

Следствием этой конструкции является то, что полученная из m половинная секция будет соответствовать секции k-типа только с одной стороны. Кроме того, секция m-типа с одним значением m не будет соответствовать другой секции m-типа с другим значением m, за исключением сторон, которые предлагают Z _ik-типа. ^[11]

Рабочая частота [ править ]

Для показанной полусекции нижних частот частота среза m-типа такая же, как и для k-типа, и определяется выражением

${\ displaystyle \ omega _ {c} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}.}$

Полюс затухания происходит при;

${\displaystyle \omega _{\infty }={\frac {\omega _{c}}{\sqrt {1-m^{2}}}}.}$

Отсюда ясно, что меньшие значения m будут давать частоту, близкую к частоте среза, и, следовательно, будут иметь более резкую границу. Несмотря на эту отсечку, он также приближает нежелательную полосу заграждения m-типа к частоте отсечки, что затрудняет ее фильтрацию в последующих секциях. Выбранное значение m обычно является компромиссом между этими противоречивыми требованиями. Существует также практический предел того, насколько маленьким может быть m из-за собственного сопротивления катушек индуктивности. Это приводит к тому, что полюс затухания становится менее глубоким (т. Е. Он больше не является действительно бесконечным полюсом), а наклон отсечки становится менее крутым. Этот эффект становится более заметным по мере приближения к${\displaystyle \omega _{\infty }}$${\displaystyle \omega _{c}\,\!}$${\displaystyle \omega _{\infty }}$${\displaystyle \omega _{c}\,\!}$, и перестает быть какое-либо улучшение в ответе с m около 0,2 или меньше. ^{[11] [12] [13]}

Импеданс изображения [ править ]

Следующие ниже выражения для импеданса изображения все относятся к секции прототипа нижних частот. Они масштабируются до номинального импеданса R ₀ = 1, а все частоты в этих выражениях масштабируются до частоты среза ω _c = 1.

Разделы серии [ править ]

Импедансы изображения секции серии даны по ^{формуле [14]}

${\displaystyle Z_{iT}={\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$

и такой же, как у постоянного k-го участка

${\displaystyle Z_{i\Pi m}={\frac {1-\left(\omega /\omega _{\infty }\right)^{2}}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}.}$

Секции шунта [ править ]

Импедансы изображения шунтирующей секции даны по ^{формуле [11]}

${\displaystyle Z_{i\Pi }={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}$

и такой же, как у постоянного k-го участка

${\displaystyle Z_{iTm}={\frac {\sqrt {1-\omega ^{2}}}{1-\left(\omega /\omega _{\infty }\right)^{2}}}}$

Как и в случае секции k-типа, импеданс изображения секции нижних частот m- типа является чисто реальным ниже частоты среза и чисто воображаемым выше нее. Из диаграммы видно, что в полосе пропускания наиболее близкое согласование импеданса к окончанию с постоянным чистым сопротивлением происходит примерно при m = 0,6. ^[14]

Параметры передачи [ править ]

Для отрезка, производного от m, в общем случае параметры передачи для полусекции даются по ^{формуле [14]}

${\displaystyle \gamma =\sinh ^{-1}{\frac {mZ}{\sqrt {k^{2}+(1-m^{2})Z^{2}}}}}$

и для n полусекций

${\displaystyle \gamma _{n}=n\gamma \,\!}$

Для конкретного примера L-секции нижних частот параметры передачи решаются по-разному в трех полосах частот. ^[14]

Для передачи без потерь:${\displaystyle 0<\omega <\omega _{c}\,\!}$

${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta =0+i{\frac {1}{2}}\cos ^{-1}\left(1-{\frac {2m^{2}}{\left({\frac {\omega _{c}}{\omega }}\right)^{2}-\left({\frac {\omega _{c}}{\omega _{\infty }}}\right)^{2}}}\right)}$

Для параметров передачи${\displaystyle \omega _{c}<\omega <\omega _{\infty }}$

${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta ={\frac {1}{2}}\cosh ^{-1}\left({\frac {2m^{2}}{\left({\frac {\omega _{c}}{\omega }}\right)^{2}-\left({\frac {\omega _{c}}{\omega _{\infty }}}\right)^{2}}}-1\right)+i{\frac {\pi }{2}}}$

Для параметров передачи${\displaystyle \omega _{\infty }<\omega <\infty }$

${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta ={\frac {1}{2}}\cosh ^{-1}\left(1-{\frac {2m^{2}}{\left({\frac {\omega _{c}}{\omega }}\right)^{2}-\left({\frac {\omega _{c}}{\omega _{\infty }}}\right)^{2}}}\right)+i0}$

Преобразования прототипа [ править ]

Показанные графики импеданса изображения, затухания и изменения фазы являются графиками секции прототипа фильтра нижних частот . Прототип имеет частоту отсечки ω _c = 1 рад / с и номинальное сопротивление R ₀ = 1 Ом. Это создается полусекцией фильтра, где L = 1 генри и C = 1 фарад. Этот прототип можно масштабировать по импедансу и по частоте до желаемых значений. Прототип нижних частот также может быть преобразован в высокочастотный, полосовой или полосовой типы путем применения подходящих частотных преобразований . ^[15]

Каскадные разделы [ править ]

Несколько L-полусекций могут быть соединены каскадом, чтобы сформировать составной фильтр . Подобное сопротивление всегда должно совпадать с подобным в этих комбинациях. Таким образом, есть две схемы, которые могут быть образованы двумя идентичными L-образными полусекциями. Если Z _iTобращен к Z _iT, сечение называется Πсечением. Там, где Z _iΠобращен к Z, _iΠсформированное сечение является Т-образным сечением. Дальнейшее добавление полусекций к любому из них образует лестничную сеть, которая может начинаться и заканчиваться последовательными или шунтирующими элементами. ^[16]

Следует иметь в виду, что характеристики фильтра, предсказанные методом изображения, являются точными только в том случае, если секция заканчивается его импедансом изображения. Обычно это не относится к секциям на обоих концах, которые обычно оканчиваются фиксированным сопротивлением. Чем дальше секция от конца фильтра, тем более точным будет прогноз, поскольку эффекты оконечных сопротивлений маскируются промежуточными секциями. Обычно на концах фильтра предусматриваются полусекции с m = 0,6, так как это значение дает самый плоский Z _iв полосе пропускания и, следовательно, наилучшее соответствие резистивной оконечной нагрузке . ^[17]

См. Также [ править ]

• Импеданс изображения
• Постоянный фильтр k
• Общие фильтры изображений m n -типа
• мм фильтр
• Фильтр составного изображения

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Mathaei, Young, Jones СВЧ-фильтры, согласованные по импедансу сети и соединительные структуры McGraw-Hill 1964 (издание 1980 г. - ISBN 0-89006-099-1 ). 
• Для более простой обработки анализа см.

• Гош, Смараджит, Теория сети: анализ и синтез , Прентис Холл, Индия, стр. 564–569, 2005 г. ISBN 81-203-2638-5 .