Постоянный фильтр k

Фильтры постоянного k , а также фильтры k-типа , представляют собой тип электронного фильтра, разработанного с использованием метода изображения . Это оригинальные и простейшие фильтры, получаемые с помощью этой методологии, которые состоят из лестничной сети из идентичных секций пассивных компонентов. Исторически сложилось так, что они являются первыми фильтрами, которые могут приблизиться к идеальной частотной характеристике фильтра в пределах любого предписанного предела с добавлением достаточного количества секций. Тем не менее, они редко рассматриваются в современном дизайне, поскольку принципы, лежащие в основе них, были заменены другими методологиями. которые более точны в своем прогнозе отклика фильтра.

История [ править ]

Фильтры постоянного k были изобретены Джорджем Кэмпбеллом . Он опубликовал свою работу в 1922 г. ^[1], но явно изобрел фильтры незадолго до этого ^[2], поскольку его коллега из AT&T Co , Отто Зобель , уже вносил улучшения в конструкцию в это время. Фильтры Кэмпбелла намного превосходили более простые одноэлементные схемы , которые использовались ранее. Кэмпбелл назвал свои фильтры фильтрами электрических волн, но позже этот термин стал обозначать любой фильтр, который пропускает волны одних частот, но не пропускает другие. Впоследствии было изобретено много новых форм волновых фильтров; ранним (и важным) вариантом был фильтр на основе mЗобелем, который ввел термин постоянная k для фильтра Кэмпбелла, чтобы различать их. ^[3]

Большим преимуществом фильтров Кэмпбелла перед схемой RL и другими простыми фильтрами того времени было то, что они могли быть разработаны для любой желаемой степени подавления полосы задерживания или крутизны перехода между полосой пропускания и полосой задерживания. Было необходимо только добавить дополнительные секции фильтра, пока не был получен желаемый ответ. ^[4]

Фильтры были разработаны Кэмпбеллом с целью разделения мультиплексированных телефонных каналов на линиях передачи , но их последующее использование получило гораздо более широкое распространение, чем это. Техники дизайна, используемые Кэмпбеллом, были в значительной степени заменены. Однако лестничная топология, используемая Кэмпбеллом с константой k, все еще используется сегодня с реализациями современных конструкций фильтров, таких как фильтр Чебышева . Кэмпбелл дал постоянные конструкции к для низких частот , высоких частот и полосовых фильтров. Band-стопы и несколько фильтров группы также возможны. ^[5]

Терминология [ править ]

Некоторые термины импеданса и термины разделов, используемые в этой статье, изображены на схеме ниже. Теория изображений определяет величины в терминах бесконечного каскада двухпортовых секций , а в случае обсуждаемых фильтров - бесконечной лестничной сети L-секций. Здесь «L» не следует путать с индуктивностью L - в топологии электронного фильтра «L» относится к определенной форме фильтра, которая напоминает перевернутую букву «L».

Секции гипотетического бесконечного фильтра выполнены из элементов серии , имеющих импеданс 2 Z и шунтирующие элементы с допуском 2 Y . Множитель два введен для математического удобства, поскольку обычно работают в терминах полусекций, где он исчезает. Изображения сопротивление входного и выходного порта секции, как правило , не должны быть одинаковыми. Однако для участка средней серии (то есть участка от середины последовательного элемента до середины следующего последовательного элемента) будет одинаковое сопротивление изображения на обоих портах из-за симметрии. Этот импеданс изображения обозначен из-за топологии "" средней секции. Аналогичным образом, импеданс изображенияZiTTсредняя секция шунта обозначена из-за топологии " ". Половина такой или секции называется полусекцией , которая также является L-образным сечением, но с половиной значений элементов полного L-сечения. Импеданс изображения полусекции неодинаков на входных и выходных портах: на стороне, представляющей последовательный элемент, он равен средней серии , но на стороне, представляющей шунтирующий элемент, он равен среднему шунту . Таким образом, есть два варианта использования полусекции.ZiΠΠ"T""Π"ZiTZiΠ

Части этой статьи или раздела полагаться на знания читателя комплексного импеданса представления конденсаторов и катушек индуктивности и на знании частотной области представления сигналов .

Вывод [ править ]

Импеданс изображения Z _iT прототипа фильтра нижних частот с постоянным k отображается в зависимости от частоты . Импеданс чисто резистивный (реальный) внизу и чисто реактивный (мнимый) вверху .${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega _ {c}}$${\ displaystyle \ omega _ {c}}$

Строительный блок константы К фильтрам является «L» , сеть половины сечения, состоит из серии импеданса Z и шунт проводимость Y . «K» в «константе k» - это значение, определяемое как, ^[6]

${\ Displaystyle к ^ {2} = {\ гидроразрыва {Z} {Y}}}$

Таким образом, k будет иметь единицы импеданса, то есть Ом . Совершенно очевидно , что для того , чтобы к , чтобы быть постоянным, Y должен быть двойной импеданс из Z . Физическую интерпретацию k можно дать, наблюдая, что k является предельным значением Z _i, поскольку размер секции (с точки зрения значений ее компонентов, таких как индуктивности, емкости и т. Д.) Приближается к нулю, при сохранении k на уровне его начальное значение. Таким образом, k - характеристический импеданс , Z ₀, линии передачи, которая будет образована этими бесконечно малыми участками. Это также импеданс изображения секции в резонансе , в случае полосовых фильтров, или при ω = 0 в случае фильтров нижних частот. ^[7] Например, изображенная полусекция нижних частот имеет

${\ displaystyle k = {\ sqrt {\ frac {я \ omega L} {я \ omega C}}} = {\ sqrt {\ frac {L} {C}}}}$.

Элементы L и C можно сделать сколь угодно малыми, сохранив при этом то же значение k . Z и Y, однако, оба приближаются к нулю, и из формул (ниже) для импеданса изображения,

Импеданс изображения [ править ]

Импедансы изображения секции приведены в ^[8]

${\ displaystyle {Z _ {\ mathrm {iT}}} ^ {2} = Z ^ {2} + k ^ {2}}$

и

${\ displaystyle {\ frac {1} {{Z _ {\ mathrm {i \ Pi}}} ^ {2}}} = {Y _ {\ mathrm {i \ Pi}}} ^ {2} = Y ^ {2 } + {\ frac {1} {k ^ {2}}}}$

Учитывая, что фильтр не содержит резистивных элементов, импеданс изображения в полосе пропускания фильтра является чисто реальным, а в полосе заграждения - чисто мнимым . Например, для изображенной полусекции нижних частот, ^[9]

${\displaystyle {Z_{\mathrm {iT} }}^{2}=-(\omega L)^{2}+{\frac {L}{C}}}$

Переход происходит на частоте среза, определяемой

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$

Ниже этой частоты импеданс изображения реальный,

${\displaystyle Z_{\mathrm {iT} }=L{\sqrt {\omega _{c}^{2}-\omega ^{2}}}}$

Выше частоты среза импеданс изображения является мнимым,

${\displaystyle Z_{\mathrm {iT} }=iL{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{c}^{2}}}}$

Параметры передачи [ править ]

Параметры передачи для общей постоянной k полусекции даются ^[10]

${\displaystyle \gamma =\sinh ^{-1}{\frac {Z}{k}}}$

а для цепочки из n полусекций

${\displaystyle \gamma _{n}=n\gamma \,\!}$

Для L-образной секции нижних частот, ниже частоты среза, параметры передачи определены как ^[8]

${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta =0+i\sin ^{-1}{\frac {\omega }{\omega _{c}}}}$

То есть передача без потерь в полосе пропускания с изменением только фазы сигнала. Параметры передачи выше частоты среза: ^[8]

${\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta =\cosh ^{-1}{\frac {\omega }{\omega _{c}}}+i{\frac {\pi }{2}}}$

Преобразования прототипа [ править ]

Представленные графики импеданса изображения, затухания и изменения фазы соответствуют секции фильтра нижних частот - прототипа . Прототип имеет частоту отсечки ω _c = 1 рад / с и номинальное сопротивление k = 1 Ом. Это создается полусекцией фильтра с индуктивностью L = 1 Генри и емкостью C = 1 фарад . Этот прототип можно масштабировать по импедансу и по частоте до желаемых значений. Прототип нижних частот также может быть преобразован в высокочастотные, полосовые или полосно-пропускающие типы путем применения подходящих частотных преобразований .^[11]

Каскадные разделы [ править ]

Несколько L-образных полусекций могут быть соединены каскадом с образованием составного фильтра. Подобное сопротивление всегда должно совпадать с подобным в этих комбинациях. Таким образом, существуют две схемы, которые могут быть образованы двумя идентичными L-образными полусекциями. Если порт импеданса изображения Z_iT обращен к другому Z_iT , секция называется Πсекцией. Там, где Z_iΠ обращена к Z,_iΠ сформированное таким образом сечение является Т-образным сечением. Дальнейшие добавления полусекций к любой из этих секций образуют лестничную сеть, которая может начинаться и заканчиваться последовательными или шунтирующими элементами. ^[12]

Следует иметь в виду, что характеристики фильтра, предсказанные методом изображения, являются точными только в том случае, если секция заканчивается его импедансом изображения. Обычно это не относится к секциям на обоих концах, которые обычно оканчиваются фиксированным сопротивлением. Чем дальше секция от конца фильтра, тем точнее будет прогноз, поскольку эффекты оконечных сопротивлений маскируются промежуточными секциями. ^[13]

См. Также [ править ]

• Импеданс изображения
• m-производный фильтр
• мм фильтр
• Фильтр составного изображения

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Брей, Дж., Инновации и революция в коммуникациях , Институт инженеров-электриков, 2002.
• Matthaei, G .; Янг, L .; Джонс, ЕМТ, СВЧ-фильтры, сети согласования импеданса и структуры связи МакГроу-Хилл 1964.
• Зобель, О.Дж., Теория и разработка однородных и составных фильтров электрических волн , Bell System Technical Journal, Vol. 2 (1923), стр. 1–46.

Дальнейшее чтение [ править ]

Для более простой обработки анализа см.

• Ghosh, Smarajit (2005), Network Theory: Analysis and Synthesis , New Delhi: Prentice Hall of India, стр. 544–563, ISBN. 81-203-2638-5