Модель ценообразования биномиальных опционов

В области финансов , то биномиальные варианты ценообразования модели ( РПБ ) обеспечивают обобщение численного метод для оценки вариантов . По сути, модель использует «дискретную» ( основанную на решетке ) модель изменяющейся цены базового финансового инструмента во времени, обращаясь к случаям, когда закрытая формула Блэка – Шоулза отсутствует.

Биномиальная модель была впервые предложена Уильямом Шарпом в издании Investments 1978 года ( ISBN 013504605X ) ^[1] и формализована Коксом , Россом и Рубинштейном в 1979 году ^[2] и Рендлеманом и Барттером в том же году. ^[3]

Для биномиальных деревьев применительно к производным инструментам с фиксированным доходом и процентной ставкой см. Решеточную модель (финансы) § Производные инструменты процентной ставки .

Использование модели [ править ]

Биномиальная модель ценообразования опционов получила широкое распространение, поскольку она способна обрабатывать множество условий, для которых нелегко применить другие модели. Во многом это связано с тем, что BOPM основан на описании базового инструмента за период времени, а не на отдельной точке. Как следствие, он используется для оценки американских опционов, которые могут быть исполнены в любое время в данном интервале, а также бермудских опционов, которые могут быть исполнены в определенные моменты времени. Эта относительно простая модель легко реализуется в компьютерном программном обеспечении (включая электронную таблицу ).

Хотя вычислительно медленнее, чем формула Блэка – Шоулза , она более точна, особенно для долгосрочных опционов на ценные бумаги с выплатой дивидендов . По этим причинам различные версии биномиальной модели широко используются практиками на рынках опционов. ^{[ необходима цитата ]}

Для вариантов с несколькими источниками неопределенности (например, реальные варианты ) и для вариантов со сложными характеристиками (например, азиатские варианты ) биномиальные методы менее практичны из-за ряда трудностей, и вместо них обычно используются модели вариантов Монте-Карло . При моделировании небольшого количества временных шагов моделирование Монте-Карло будет требовать больше вычислительных затрат времени, чем BOPM (ср. Методы Монте-Карло в финансах ). Однако в худшем случае время выполнения BOPM будет O (2 ⁿ ) , где n - количество временных шагов в моделировании. Моделирование методом Монте-Карло обычно будет иметь полиномиальную временную сложность., и будет быстрее при большом количестве шагов моделирования. Моделирование методом Монте-Карло также менее подвержено ошибкам выборки, поскольку биномиальные методы используют дискретные единицы времени. Это становится тем более справедливым, чем меньше становятся дискретные единицы.

Метод [ править ]

функция americanPut (T, S, K, r, sigma, q, n){  'T ... срок действия 'S ... цена акции 'K ... страйк цена 'q ... дивидендная доходность 'п ... высота биномиального дерева deltaT: = T / n; вверх: = exp (sigma * sqrt (deltaT)); p0: = (up * exp (-q * deltaT) - exp (-r * deltaT)) / (up ^ 2 - 1); p1: = exp (-r * deltaT) - p0; 'начальные значения в момент времени T  для i: = от 0 до n { p [i]: = K - S * up ^ (2 * i - n); если p [i] <0, то p [i]: = 0; } 'перейти к более раннему времени  для j: = n-1 вниз до 0 { для i: = от 0 до j { ' биномиальное значение p [i]: = p0 * p [i + 1] + p1 * p [i];  'ценность упражнения упражнение: = K - S * up ^ (2 * i - j);  если p [i] <упражнение, то p [i]: = упражнение; } } return americanPut: = p [0];}

Биномиальная модель ценообразования отслеживает эволюцию ключевых базовых переменных опциона в дискретном времени. Это делается с помощью биномиальной решетки (дерева) для ряда временных шагов между датой оценки и датой истечения срока. Каждый узел в решетке представляет собой возможную цену базового актива в данный момент времени.

Оценка выполняется итеративно, начиная с каждого из конечных узлов (тех, которые могут быть достигнуты во время истечения срока), а затем, работая в обратном направлении по дереву к первому узлу (дате оценки). Стоимость, вычисляемая на каждом этапе, - это стоимость опциона на данный момент времени.

Оценка опционов с использованием этого метода, как описано, состоит из трех этапов:

Формирование дерева цен,
Расчет стоимости опциона на каждом конечном узле,
Последовательный расчет значения опциона на каждом предыдущем узле.

Шаг 1. Создайте дерево биномиальных цен [ править ]

Дерево цен создается путем продвижения вперед от даты оценки до истечения срока ее действия.

На каждом шаге предполагается, что базовый инструмент будет двигаться вверх или вниз на определенный коэффициент ( или ) за шаг дерева (где, по определению, и ). Итак, если это текущая цена, то в следующем периоде цена будет либо, либо . ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle u \ geq 1}$ ${\ displaystyle 0 <d \ leq 1}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle S_ {вверх} = S \ cdot u}$ ${\ Displaystyle S_ {вниз} = S \ cdot d}$

Вверх и вниз факторов рассчитываются с использованием базовой волатильности , и продолжительность времени шага, , измеряется в годах ( с использованием счета день конвенции базового инструмента). Из условия, что отклонение логарифма цены равно : ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ Displaystyle \ sigma ^ {2} т}$

{\ Displaystyle и = е ^ {\ sigma {\ sqrt {t}}}}

{\ displaystyle d = e ^ {- \ sigma {\ sqrt {t}}} = {\ frac {1} {u}}.}

Выше представлен оригинальный метод Кокса, Росс и Рубинштейн (CRR); существуют различные другие методы для создания решетки, такие как дерево «равных вероятностей», см. ^[4]^[5]

Метод CRR гарантирует, что дерево является рекомбинантным, то есть если базовый актив движется вверх, а затем вниз (u, d), цена будет такой же, как если бы он двигался вниз, а затем вверх (d, u) - здесь два пути объединяются или рекомбинируются. Это свойство уменьшает количество узлов дерева и, таким образом, ускоряет вычисление цены опциона.

Это свойство также позволяет рассчитывать стоимость базового актива в каждом узле напрямую с помощью формулы и не требует предварительного построения дерева. Значение узла будет:

{\ displaystyle S_ {n} = S_ {0} \ times u ^ {N_ {u} -N_ {d}},}

Где количество тиков вверх и количество тиков вниз. ${\ displaystyle N_ {u}}$ ${\ displaystyle N_ {d}}$

Шаг 2. Найдите значение параметра на каждом последнем узле [ править ]

В каждом последнем узле дерева, то есть при истечении срока действия опциона, значение опциона - это просто его внутренняя стоимость , или стоимость исполнения:

Макс [(S n - K), 0]

, для опциона колл

Макс [(K - S n), 0]

, для оферты ,

Где $K$ - цена исполнения, а это спотовая цена базового актива в $n-$ ^м периоде. ${\ displaystyle S_ {n}}$

Шаг 3. Найдите значение параметра на более ранних узлах [ править ]

После завершения вышеуказанного шага значение опциона затем определяется для каждого узла, начиная с предпоследнего временного шага и возвращаясь к первому узлу дерева (дате оценки), где вычисленным результатом является значение опциона.

В общих чертах: «биномиальное значение» находится в каждом узле с использованием предположения о нейтральности риска ; см. Оценка без риска . Если упражнение разрешено в узле, то модель берет большее из значений бинома и упражнения в узле.

Шаги следующие:

Под нейтральностью риск допущения, сегодня справедливая цена из производной равна ожидаемая стоимость его будущего выигрыша дисконтированной по безрисковой ставке . Таким образом, ожидаемое значение вычисляется с использованием значений параметров из последующих двух узлов ( Option вверх и Варианты вниз ) , взвешенной по их соответствующему probabilities- «вероятность» р восходящего движения в подстилающем, и «вероятности» (1-р) из движение вниз. Затем ожидаемая стоимость дисконтируется по безрисковой ставке r , соответствующей сроку действия опциона.
Следующая формула для вычисления математического ожидания применяется к каждому узлу:
${\text{ Binomial Value }}=[p\times {\text{ Option up }}+(1-p)\times {\text{ Option down] }}\times \exp(-r\times \Delta t)$ , или же
$C_{t-\Delta t,i}=e^{-r\Delta t}(pC_{t,i}+(1-p)C_{t,i+1})\,$
куда
$C_{t,i}\,$ - значение опции для узла в момент времени $t$ , $i^{th}\,$
$p={\frac {e^{(r-q)\Delta t}-d}{u-d}}$ выбирается таким образом, чтобы соответствующее биномиальное распределение имитировало геометрическое броуновское движение нижележащей акции с параметрами r и σ ,
$q$ - дивидендная доходность базового актива, соответствующая сроку действия опциона. Отсюда следует, что в нейтральном к риску мире фьючерсная цена должна иметь ожидаемый темп роста, равный нулю, и поэтому мы можем рассматривать фьючерсы. $q=r$
Обратите внимание, что для того, чтобы $p$ было в интервале, должно выполняться следующее условие on . $(0,1)$ $\Delta t$ $\Delta t<{\frac {\sigma ^{2}}{(r-q)^{2}}}$
(Обратите внимание, что альтернативный подход к оценке, ценообразование без арбитража , дает идентичные результаты; см. « Дельта-хеджирование ».)
Этот результат и есть «биномиальное значение». Он представляет собой справедливую цену производного инструмента в определенный момент времени (то есть в каждом узле), учитывая динамику цены базового инструмента к этому моменту. Это стоимость опциона, если он будет удерживаться, а не исполненный на тот момент.
В зависимости от стиля опциона оцените возможность досрочного исполнения на каждом узле: если (1) опцион может быть исполнен и (2) значение исполнения превышает биномиальное значение, то (3) значение в узле равно ценность упражнения.
- Для европейского варианта нет возможности досрочного исполнения, и биномиальное значение применяется ко всем узлам.
- Для американского опциона , поскольку опцион может быть удержан или исполнен до истечения срока его действия, значение в каждом узле составляет: Макс (биномиальное значение, значение исполнения).
- Для бермудского варианта значение в узлах, где разрешено раннее упражнение, равно: Макс (биномиальное значение, значение упражнения); в узлах, где раннее упражнение не разрешено, применяется только биномиальное значение.

При вычислении значения на следующем рассчитанном временном шаге - т. Е. На один шаг ближе к оценке - модель должна использовать значение, выбранное здесь, для «Вариант вверх» / «Вариант вниз», в зависимости от ситуации, в формуле в узле. Алгоритм aside демонстрирует подход к вычислению цены американского пут-опциона, хотя его легко обобщить для колл, а также для европейских и бермудских опционов:

Отношения с Блэком – Скоулзом [ править ]

Подобные предположения лежат в основе как биномиальной модели, так и модели Блэка – Шоулза , и, таким образом, биномиальная модель обеспечивает приближение дискретного времени к непрерывному процессу, лежащему в основе модели Блэка – Шоулза. Биномиальная модель предполагает, что движения цены следуют биномиальному распределению ; для многих испытаний это биномиальное распределение приближается к логнормальному распределению, принятому Блэком – Шоулзом. В этом случае для европейских опционов без дивидендов значение биномиальной модели сходится со значением формулы Блэка – Шоулза по мере увеличения количества временных шагов. ^[4]^[5]

Кроме того, при анализе в качестве численной процедуры, биномиальное метод ЦРП можно рассматривать как частный случай из явного метода конечных разностей для Блэка-Шоулза PDE ; см. методы конечных разностей для оценки опционов . ^{[ необходима цитата ]}

См. Также [ править ]

Трехчленное дерево , аналогичная модель с тремя возможными путями на узел.
Дерево (структура данных)
Модель решетки (финансы) , для более общего обсуждения и применения к другим базовым элементам
Блэка – Шоулза : биномиальные решетки способны обрабатывать множество условий, для которых нельзя применять Блэка – Шоулза.
Модель опционов Монте-Карло , используемая при оценке опционов со сложными характеристиками, которые затрудняют их оценку другими методами.
Анализ реальных опционов , где широко используется БОПМ.
Квантовые финансы , квантовая биномиальная модель ценообразования.
Математические финансы , в котором есть список статей по теме.
Опцион на акции сотрудников § Оценка , где широко используется BOPM.
Подразумеваемое биномиальное дерево
Биномиальное дерево Эджворта

Ссылки [ править ]

^ Уильям Ф. Шарп, биография , nobelprize.org
^ Кокс, JC ; Росс, SA ; Рубинштейн, М. (1979). «Ценообразование опционов: упрощенный подход». Журнал финансовой экономики . 7 (3): 229. CiteSeerX 10.1.1.379.7582 . DOI : 10.1016 / 0304-405X (79) 90015-1 .
^ Ричард Дж. Рендлман младший и Брит Дж. Барттер. 1979. "Ценообразование опционов с двумя государствами". Журнал финансов 24: 1093-1110. DOI : 10,2307 / 2327237
^ a b Отметка s. Джоши (2008). Сходимость биномиальных деревьев для определения цены американского пут
^ a b Chance, Дон М. Март 2008 г. Синтез биномиальных моделей ценообразования для логнормально распределенных активов. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine . Журнал прикладных финансов, Vol. 18

Внешние ссылки [ править ]

Биномиальная модель для вариантов ценообразования , профессор Тайер Уоткинс
Биномиальное ценообразование опционов ( PDF ), профессор Роберт М. Конрой
Биномиальная модель ценообразования опционов Фионы Маклахлан, The Wolfram Demonstrations Project
О несоответствии ожидаемой доходности акций при ценообразовании опционов в биномиальной модели: педагогическая заметка Валерия Закамулина
Простой вывод вероятности, нейтральной к риску, в биномиальной модели ценообразования опционов Грега Ороси

[1] Уильям Ф. Шарп, биография , nobelprize.org

[2] Кокс, JC ; Росс, SA ; Рубинштейн, М. (1979). «Ценообразование опционов: упрощенный подход». Журнал финансовой экономики . 7 (3): 229. CiteSeerX 10.1.1.379.7582 . DOI : 10.1016 / 0304-405X (79) 90015-1 .

[3] Ричард Дж. Рендлман младший и Брит Дж. Барттер. 1979. "Ценообразование опционов с двумя государствами". Журнал финансов 24: 1093-1110. DOI : 10,2307 / 2327237

[Joshi-4] Отметка s. Джоши (2008). Сходимость биномиальных деревьев для определения цены американского пут

[Chance-5] Chance, Дон М. Март 2008 г. Синтез биномиальных моделей ценообразования для логнормально распределенных активов. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine . Журнал прикладных финансов, Vol. 18

[1]