В математике , А функциональный квадратный корень (иногда называют половину итерации ) представляет собой квадратный корень из функции по отношению к операции композиции функций . Другими словами, функциональный квадратный корень из функции g - это функция f, удовлетворяющая f ( f ( x )) = g ( x ) для всех x .
Обозначение
Обозначения, выражающие, что f является функциональным квадратным корнем из g, - это f = g [1/2] и f = g 1/2 . [ необходима цитата ]
История
- Функциональный квадратный корень из экспоненциальной функции (теперь известной как полуэкспоненциальная функция ) был изучен Хельмутом Кнезером в 1950 году [1].
- Решения f ( f ( x )) = x над(в инволюции этих действительных чисел ) были впервые изучены Чарльз Бэббидж в 1815 году, и это уравнение называется Бэббиджа функциональное уравнение . [2] Частным решением является f ( x ) = ( b - x ) / (1 + cx ) для bc ≠ −1 . Бэббидж заметил, что для любого данного решения f его функциональное сопряжение Ψ −1 ∘ f ∘ Ψ произвольной обратимой функцией Ψ также является решением. Другими словами, группа всех обратимых функций на вещественной прямой действует на подмножество, состоящее из решений функционального уравнения Бэббиджа путем сопряжения .
Решения
Систематическая процедура для получения произвольных функциональных n -корней (включая, помимо n = 1/2 , [ требуется разъяснение ] непрерывных, отрицательных и бесконечно малых n ) функций g : ℂ → ℂ, основывается на решениях уравнения Шредера . [3] [4] [5] Бесконечно много тривиальных решений существует, когда область определения корневой функции f может быть достаточно большой, чем область определения g .
Примеры
- f ( x ) = 2 x 2 - это функциональный квадратный корень из g ( x ) = 8 x 4 .
- Функциональный квадратный корень из n- го многочлена Чебышева , g ( x ) = T n ( x ) , равен f ( x ) = cos ( √ n arccos ( x )) , что в общем случае не является многочленом .
- f ( x ) = x / ( √ 2 + x (1 - √ 2 )) является функциональным квадратным корнем из g ( x ) = x / (2 - x ) .
- sin [2] ( x ) = sin (sin ( x )) [ красная кривая]
- sin [1] ( x ) = sin ( x ) = rin (rin ( x )) [ синяя кривая]
- sin [½] ( x ) = rin ( x ) = qin (qin ( x )) [ оранжевая кривая]
- sin [¼] ( x ) = qin ( x ) [черная кривая над оранжевой кривой]
- sin [–1] ( x ) = arcsin ( x ) [пунктирная кривая]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Кнезер, H. (1950). "Reelle analytische Lösungen der Gleichung φ ( φ ( x )) = e x und verwandter Funktionalgleichungen" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 187 : 56–67.
- ^ Джереми Грей и Карен Паршалл (2007) Эпизоды в истории современной алгебры (1800–1950) , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4343-7
- ^ Шредер, Э. (1870). "Ueber iterirte Functionen" . Mathematische Annalen . 3 (2): 296–322. DOI : 10.1007 / BF01443992 .
- ^ Секереш, Г. (1958). «Регулярное повторение вещественных и сложных функций» . Acta Mathematica . 100 (3–4): 361–376. DOI : 10.1007 / BF02559539 .
- ^ Кертрайт, Т .; Zachos, C .; Джин, X. (2011). «Приближенные решения функциональных уравнений». Журнал Physics A . 44 (40): 405205. arXiv : 1105.3664 . Bibcode : 2011JPhA ... 44N5205C . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 44/40/405205 .
- ^ Кертрайт, Т. Л. Поверхности эволюции и функциональные методы Шредера .