В общей теории относительности , геодезический обобщает понятие «прямой линии» с изогнутым пространства - времени . Важно отметить, что мировая линия частицы, свободная от всех внешних негравитационных сил, является особым типом геодезической. Другими словами, свободно движущаяся или падающая частица всегда движется по геодезической.
В общей теории относительности гравитацию можно рассматривать не как силу, а как следствие искривленной геометрии пространства-времени, где источником кривизны является тензор энергии-напряжения (представляющий, например, материю). Так, например, путь планеты, вращающейся вокруг звезды, является проекцией геодезической изогнутой четырехмерной (4-D) геометрии пространства-времени вокруг звезды на трехмерное (3-D) пространство.
Математическое выражение
Полное геодезическое уравнение имеет вид
где s - скалярный параметр движения (например, собственное время ), иявляются символами Кристоффеля (иногда называемыми коэффициентами аффинной связи или коэффициентами связности Леви-Чивиты ), симметричными по двум нижним индексам. Греческие индексы могут принимать значения: 0, 1, 2, 3, а для повторяющихся индексов используется соглашение о суммировании. а также . Величина в левой части этого уравнения - это ускорение частицы, поэтому это уравнение аналогично законам движения Ньютона , которые также обеспечивают формулы для ускорения частицы. В этом уравнении движения используется обозначение Эйнштейна , что означает, что повторяющиеся индексы суммируются (то есть от нуля до трех). Символы Кристоффеля являются функциями четырех пространственно-временных координат и поэтому не зависят от скорости, ускорения или других характеристик пробной частицы , движение которой описывается уравнением геодезии.
Эквивалентное математическое выражение с использованием координатного времени в качестве параметра
До сих пор геодезическое уравнение движения записывалось в терминах скалярного параметра s . В качестве альтернативы его можно записать через временную координату,(здесь мы использовали тройную черту для обозначения определения). Тогда геодезическое уравнение движения принимает следующий вид:
Эта формулировка геодезического уравнения движения может быть полезна для компьютерных вычислений и для сравнения общей теории относительности с ньютоновской гравитацией. [1] Эту форму геодезического уравнения движения легко вывести из формы, которая использует собственное время в качестве параметра, используя цепное правило . Обратите внимание, что обе части этого последнего уравнения обращаются в нуль, когда индекс mu равен нулю. Если скорость частицы достаточно мала, то уравнение геодезических сводится к следующему:
Здесь латинский индекс n принимает значения [1,2,3]. Это уравнение просто означает, что все тестовые частицы в определенном месте и в определенное время будут иметь одинаковое ускорение, что является хорошо известной особенностью ньютоновской гравитации. Например, все, что плавает на международной космической станции, будет претерпевать примерно одинаковое ускорение под действием силы тяжести.
Вывод непосредственно из принципа эквивалентности
Физик Стивен Вайнберг представил вывод геодезического уравнения движения непосредственно из принципа эквивалентности . [2] Первым шагом в таком выводе является предположение, что свободно падающая частица не ускоряется в окрестности точечного события относительно свободно падающей системы координат (). Параметр, у нас есть следующее уравнение, которое применимо локально при свободном падении:
Следующим шагом будет применение правила многомерной цепочки . У нас есть:
Еще раз дифференцируя по времени, мы имеем:
Следовательно:
Умножьте обе части этого последнего уравнения на следующую величину:
Как и раньше, мы можем установить . Тогда первая производная x 0 по t равна единице, а вторая производная равна нулю. Замена λ на ноль дает:
Вычитание d x λ / d t, умноженное на это, из предыдущего уравнения дает:
которая является формой геодезического уравнения движения (с использованием координатного времени в качестве параметра).
В качестве альтернативы геодезическое уравнение движения может быть получено с использованием концепции параллельного переноса . [3]
Вывод уравнения геодезических через действие
Мы можем (и это наиболее распространенный метод) вывести уравнение геодезических через принцип действия . Рассмотрим случай попытки найти геодезическую между двумя разнесенными по времени событиями.
Пусть действие будет
где это элемент строки . Внутри квадратного корня стоит отрицательный знак, потому что кривая должна быть времениподобной. Чтобы получить уравнение геодезических, мы должны изменить это действие. Для этого параметризуем это действие по параметру. Таким образом мы получаем:
Теперь мы можем пойти дальше и изменить это действие по отношению к кривой . По принципу наименьшего действия получаем:
Используя товарное правило, получаем:
где
Интегрируя по частям последний член и отбрасывая полную производную (которая равна нулю на границах), получаем:
(Примечание: аналогичные производные с небольшими поправками могут быть использованы для получения аналогичных результатов для геодезических между светоподобными [ необходима цитата ] или пространственными разделенными парами точек.)
Уравнение движения может вытекать из уравнений поля для пустого пространства
Было показано, что этот закон движения - обобщенный на случай сколь угодно больших гравитирующих масс - может быть выведен только из полевых уравнений пустого пространства. Согласно этому выводу, закон движения подразумевается из условия, что поле не должно быть сингулярным нигде за пределами точек его порождающей массы.
Одним из недостатков исходной релятивистской теории гравитации было то, что как теория поля она не была законченной; он ввел независимый постулат о том, что закон движения частицы задается уравнением геодезической.
Полная теория поля знает только поля, но не концепции частиц и движения. Поскольку они не должны существовать независимо от поля, а должны рассматриваться как его часть.
На основе описания частицы без сингулярности появляется возможность логически более удовлетворительного решения комбинированной проблемы: проблема поля и проблема движения совпадают.
И физики, и философы часто повторяли утверждение, что геодезическое уравнение может быть получено из уравнений поля для описания движения гравитационной сингулярности , но это утверждение остается спорным. [6] Менее спорным является представление о том, что уравнения поля определяют движение жидкости или пыли, в отличие от движения точечной сингулярности. [7]
Распространение на случай заряженной частицы
При выводе уравнения геодезических из принципа эквивалентности предполагалось, что частицы в локальной инерциальной системе координат не ускоряются. Однако в реальной жизни частицы могут быть заряженными и, следовательно, могут локально ускоряться в соответствии с силой Лоренца . Это:
Эти последние три уравнения можно использовать в качестве отправной точки для вывода уравнения движения в общей теории относительности, вместо того, чтобы предполагать, что ускорение равно нулю при свободном падении. [2] Поскольку здесь задействован тензор Минковского, возникает необходимость ввести нечто, называемое метрическим тензором в общей теории относительности. Метрический тензор g симметричен и локально сводится к тензору Минковского при свободном падении. Получающееся уравнение движения выглядит следующим образом: [8]
с участием
Это последнее уравнение означает, что частица движется по времениподобной геодезической; безмассовые частицы, такие как фотон, вместо этого следуют нулевым геодезическим (замените -1 на ноль в правой части последнего уравнения). Важно, чтобы последние два уравнения согласовывались друг с другом, когда последнее дифференцируется по собственному времени, и следующая формула для символов Кристоффеля обеспечивает эту согласованность:
Последнее уравнение не включает электромагнитные поля, и оно применимо даже в пределе, когда электромагнитные поля исчезают. Буква g с надстрочными индексами обозначает инверсию метрического тензора. В общей теории относительности индексы тензоров понижаются и повышаются за счет сокращения с метрическим тензором или его обратным, соответственно.
Геодезические как кривые стационарного интервала
Геодезическая между двумя событиями также может быть описана как кривая, соединяющая эти два события, которая имеет стационарный интервал (4-мерную «длину»). Стационарность здесь используется в том смысле, в котором этот термин используется в вариационном исчислении , а именно, что интервал вдоль кривой минимально изменяется среди кривых, которые находятся рядом с геодезической.
В пространстве Минковского есть только одна геодезическая, которая соединяет любую данную пару событий, а для временной геодезической это кривая с самым длинным собственным временем между двумя событиями. В искривленном пространстве-времени пара широко разделенных событий может иметь более одной временной геодезической между ними. В таких случаях правильное время по нескольким геодезическим, как правило, не будет одинаковым. Для некоторых геодезических в таких случаях возможно, чтобы кривая, соединяющая два события и находящаяся рядом с геодезической, имела либо большее, либо более короткое собственное время, чем геодезическая. [9]
Для пространственно-подобной геодезической, проходящей через два события, всегда есть соседние кривые, которые проходят через два события, которые имеют либо большую, либо меньшую собственную длину, чем геодезическая, даже в пространстве Минковского. В пространстве Минковского геодезическая будет прямой линией. Любая кривая, которая отличается от геодезической чисто пространственно ( т. Е. Не меняет координату времени) в любой инерциальной системе отсчета, будет иметь большую собственную длину, чем геодезическая, но кривая, которая отличается от геодезической чисто во времени ( т.е. не меняет пространственные координаты) в такой системе отсчета будет иметь меньшую надлежащую длину.
Интервал кривой в пространстве-времени равен
Тогда уравнение Эйлера – Лагранжа ,
после некоторого расчета становится
где
Доказательство
Цель состоит в том, чтобы найти кривую, для которой значение
стационарен, где
такой цели можно достичь, вычислив уравнение Эйлера – Лагранжа для f , которое имеет вид
.
Подставляя выражение для f в уравнение Эйлера – Лагранжа (которое делает значение интеграла l стационарным), дает
Теперь вычислим производные:
Это всего в одном шаге от уравнения геодезических.
Если параметр s выбран аффинным, то правая часть приведенного выше уравнения обращается в нуль (посколькупостоянно). Наконец, у нас есть геодезическое уравнение
Деривация с использованием автопараллельного транспорта
В качестве альтернативы геодезическое уравнение может быть получено из автопараллельного переноса кривых. Вывод основан на лекциях, прочитанных Фредериком П. Шуллером в Международной зимней школе We-Heraeus по гравитации и свету.
Позволять - гладкое многообразие со связностью и - кривая на многообразии. Кривая называется автопараллельно перемещаемой тогда и только тогда, когда.
Чтобы вывести геодезическое уравнение, мы должны выбрать карту :
С помощью линейность и правило Лейбница:
Использование того, как соединение действует на функции () и разложив второй член с помощью функций коэффициента связи:
Первый член можно упростить до . Переименование фиктивных индексов:
В итоге мы приходим к уравнению геодезических:
Смотрите также
Геодезический
Геодезическая прецессия
Геодезические Шварцшильда
Геодезические как гамильтоновы потоки
Библиография
Стивен Вайнберг , Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности , (1972) John Wiley & Sons, New York ISBN 0-471-92567-5 . См. Главу 3 .
Лев Д. Ландау и Евгений М. Лифшиц , Классическая теория полей , (1973) Pergammon Press, Oxford ISBN 0-08-018176-7 См. Раздел 87 .
Чарльз В. Миснер , Кип С. Торн , Джон Арчибальд Уиллер , Гравитация , (1970) WH Freeman, Нью-Йорк; ISBN 0-7167-0344-0 .
Бернард Ф. Шутц , Первый курс общей теории относительности , (1985; 2002) Издательство Кембриджского университета: Кембридж, Великобритания; ISBN 0-521-27703-5 . См. Главу 6 .
Роберт М. Уолд , Общая теория относительности , (1984) Издательство Чикагского университета, Чикаго. См. Раздел 3.3 .
Рекомендации
^ Уилл, Клиффорд. Теория и эксперимент в гравитационной физике , с. 143 (Cambridge University Press, 1993).
^ а б Вайнберг, Стивен. Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности (Wiley, 1972).
^ Плебанские, Ежи и Красиньский, Анджей. Введение в общую теорию относительности и космологию , с. 34 (Издательство Кембриджского университета, 2006 г.).
^ Эйнштейн, Альберт. Значение теории относительности , стр. 113 (Psychology Press, 2003).
^Эйнштейн, А .; Розен, Н. (1 июля 1935 г.). «Проблема частиц в общей теории относительности» . Физический обзор . 48 (1): 76. Полномочный код : 1935PhRv ... 48 ... 73E . DOI : 10.1103 / PhysRev.48.73 .и ER - статья Эйнштейна Розена ER = EPR
^ Тамир, М. « Доказательство принципа: слишком серьезное отношение к геодезической динамике в теории Эйнштейна », Исследования по истории и философии современной физики 43 (2), 137–154 (2012).
^ Плебанские, Ежи и Красиньский, Анджей. Введение в общую теорию относительности и космологию , с. 143 (Издательство Кембриджского университета, 2006 г.).
^Вальд, RM (1984). Общая теория относительности . Уравнение 4.3.2: Издательство Чикагского университета . ISBN 978-0-226-87033-5.CS1 maint: location ( ссылка )
^Чарльз В. Миснер ; Кип Торн ; Джон Арчибальд Уиллер (1973). Гравитация . WH Freeman . С. 316, 318–319. ISBN 0-7167-0344-0.