Быстрота

В относительности , быстрота обычно используются в качестве меры для релятивистской скорости. Математически скорость может быть определена как гиперболический угол, который различает две системы отсчета в относительном движении, причем каждый кадр связан с координатами расстояния и времени .

Для одномерного движения скорости являются аддитивными, тогда как скорости должны складываться по формуле Эйнштейна для сложения скоростей . Для низких скоростей скорость и скорость пропорциональны, но для более высоких скоростей скорость принимает большее значение, так как скорость света бесконечна.

Используя обратную гиперболическую функцию artanh , скорость w, соответствующая скорости v, равна w = artanh ( v / c ), где c - скорость света. Для низких скоростей w приблизительно равно v / c . Поскольку в теории относительности любая скорость v ограничена интервалом - c < v < c, отношение v / c удовлетворяет условию −1 < v / c <1. Обратный гиперболический тангенс имеет единичный интервал (−1, 1) для своей области определения и всю вещественную прямую для своего диапазона , и поэтому интервал - c < v < c отображается на −∞ < w <∞ .

История [ править ]

В 1908 году Герман Минковский объяснил , как преобразование Лоренца можно рассматривать просто как гиперболический поворот из координат пространства - времени , т.е. вращение через мнимый угол. ^[1] Следовательно, этот угол представляет (в одном пространственном измерении) простую аддитивную меру скорости между кадрами. ^[2] Параметр быстроты, заменяющий скорость, был введен в 1910 году Владимиром Варичаком ^[3] и Е.Т. Уиттакером . ^[4] Этот параметр был назван Быстрота от Alfred Робб (1911) ^[5]и этот термин был принят многими последующими авторами, такими как Зильберштейн (1914), Морли (1936) и Риндлер (2001).

Площадь гиперболического сектора [ править ]

Квадратурная гипербола х = 1 по Gregoire де Сент-Винсент установил натуральный логарифм как области гиперболического сектора, или эквивалентная площадь против асимптоты. В теории пространства-времени связь событий посредством света делит Вселенную на Прошлое, Будущее или Где-то еще на основе Здесь и Сейчас ^{[ требуется пояснение ]} . На любой линии в пространстве луч света может быть направлен влево или вправо. Возьмите ось x как события, прошедшие правый луч, а ось y - как события левого луча. Тогда покоящаяся система отсчета успевает по диагонали x = y . Прямоугольная гипербола xy= 1 может использоваться для измерения скоростей (в первом квадранте). Нулевая скорость соответствует (1,1). Любая точка на гиперболе имеет координаты, где w - скорость, и равна площади гиперболического сектора от (1,1) до этих координат. Многие авторы вместо этого ссылаются на единичную гиперболу, используя скорость для параметра, как на стандартной диаграмме пространства-времени . Здесь оси измеряются часами и измерителем, более привычными ориентирами и основой теории пространства-времени. Таким образом, определение скорости как гиперболического параметра пространства луча является ссылкой ^{[ требуется разъяснение ]} на происхождение наших драгоценных трансцендентных функций в семнадцатом веке.${\displaystyle (e^{w},\ e^{-w})}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2},}$, и дополнение к диаграммам пространства-времени.

В одном пространственном измерении [ править ]

Быстрота w возникает в линейном представлении буста Лоренца как векторно-матричного произведения

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}=\mathbf {\Lambda } (w){\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}}$.

Матрица Λ ( ш ) относится к типу с р и д , удовлетворяющей р ² - д ² = 1 , так что ( р , д ) лежит на единичной гиперболы . Такие матрицы образуют индефинитную ортогональную группу O (1,1) с одномерной алгеброй Ли, натянутой на антидиагональную единичную матрицу, показывая, что скорость является координатой на этой алгебре Ли. Это действие может быть изображено на пространственно-временной диаграмме . В матричной экспоненциальной записи Λ ( w${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}}$) можно выразить как , где Z - отрицательное значение антидиагональной единичной матрицы${\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}}$

${\displaystyle \mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

Нетрудно доказать, что

${\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2})}$.

Это устанавливает полезное аддитивное свойство быстроты: если A , B и C - системы отсчета , то

${\displaystyle w_{\text{AC}}=w_{\text{AB}}+w_{\text{BC}}}$

где ш _PQ обозначает быстроту в системе отсчета Q по отношению к системе отсчета P . Простота этой формулы контрастирует со сложностью соответствующей формулы сложения скорости .

Как видно из приведенного выше преобразования Лоренца, фактор Лоренца отождествляется с cosh w

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w}$,

поэтому скорость w неявно используется как гиперболический угол в выражениях преобразования Лоренца, использующих γ и β . Мы связываем скорости с формулой сложения скоростей

${\displaystyle u=(u_{1}+u_{2})/(1+u_{1}u_{2}/c^{2})}$

признавая

${\displaystyle \beta _{i}={\frac {u_{i}}{c}}=\tanh {w_{i}}}$

и так

${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh w&={\frac {\tanh w_{1}+\tanh w_{2}}{1+\tanh w_{1}\tanh w_{2}}}\\&=\tanh(w_{1}+w_{2})\end{aligned}}}$

Правильное ускорение (ускорение, «ощущаемое» ускоряемым объектом) - это скорость изменения скорости относительно собственного времени (времени, измеряемого самим объектом, претерпевающим ускорение). Следовательно, скорость объекта в данном кадре можно рассматривать просто как скорость этого объекта, которая была бы рассчитана нерелятивистски с помощью инерциальной системы наведения на борту самого объекта, если бы он ускорялся из состояния покоя в этом кадре до заданной скорости .

Произведение β и γ появляется часто, и из приведенных выше аргументов

${\displaystyle \beta \gamma =\sinh w\,.}$

Экспоненциальные и логарифмические отношения [ править ]

Из приведенных выше выражений имеем

${\displaystyle e^{w}=\gamma (1+\beta )=\gamma \left(1+{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1+{\tfrac {v}{c}}}{1-{\tfrac {v}{c}}}}},}$

и поэтому

${\displaystyle e^{-w}=\gamma (1-\beta )=\gamma \left(1-{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1-{\tfrac {v}{c}}}{1+{\tfrac {v}{c}}}}}.}$

или явно

${\displaystyle w=\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]\,.}$

Коэффициент доплеровского сдвига, связанный с быстротой w, равен .${\displaystyle k=e^{w}}$

Более чем в одном пространственном измерении [ править ]

Релятивистская скорость связана с быстротой объекта через ^[6]${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni \mathbf {w} ={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},}$

где вектор рассматривается как декартовы координаты на трехмерном подпространстве алгебры Ли группы Лоренца, натянутом на генераторы буста - в полной аналогии с одномерным случаем, рассмотренным выше, - а пространство скоростей представлено открытым шаром с радиусом , так как . Последнее следует из того, что это предельная скорость в теории относительности (с единицами измерения ).${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)\approx {\mathfrak {so}}(3,1)}$ ${\displaystyle K_{1},K_{2},K_{3}}$${\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,1)}$${\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle |\beta |<1}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c=1}$

Общая формула для композиции быстрот ^{[7] [nb 1]}

${\displaystyle \mathbf {w} ={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}={\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2},}$

где относится к релятивистскому сложению скоростей и является единичным вектором в направлении . Эта операция не коммутативна и не ассоциативна. Быстроты с направлениями , наклоненных под углом имеют результирующую норму (обычная евклидова длина) заданную гиперболические косинусы , ^[8]${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$${\displaystyle \mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle w\equiv |\mathbf {w} |}$

${\displaystyle \cosh w=\cosh w_{1}\cosh w_{2}+\sinh w_{1}\sinh w_{2}\cos \theta .}$

Геометрия в пространстве скоростей унаследована от гиперболической геометрии в пространстве скоростей через указанную карту. Эта геометрия, в свою очередь, может быть выведена из закона сложения релятивистских скоростей. ^[9] Таким образом, скорость в двух измерениях может быть удобно визуализирована с помощью диска Пуанкаре . ^[10] Геодезические соответствуют постоянным ускорениям. Пространство быстроты в трех измерениях может быть таким же образом помещено в изометрию с моделью гиперболоида (изометрично 3- мерному диску Пуанкаре (или шару )). Это подробно описано в геометрии пространства Минковского .

Сложение двух скоростей приводит не только к новой скорости; результирующее полное преобразование - это композиция преобразования, соответствующая скорости, указанной выше, и вращению, параметризованному вектором ,${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$

${\displaystyle \Lambda =e^{-i{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }e^{-i\mathbf {w} \cdot \mathbf {K} },}$

где используется соглашение физиков об экспоненциальном отображении. Это следствие правила коммутации

${\displaystyle [K_{i},K_{j}]=-i\epsilon _{ijk}J_{k},}$

где - генераторы вращения . Это связано с явлением прецессии Томаса . Для вычисления параметра см. Ссылку на статью.${\displaystyle J_{k},k=1,2,3,}$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$

В экспериментальной физике элементарных частиц [ править ]

Энергия E и скалярный импульс | p | частицы с ненулевой массой (покоя) m определяются выражением:

${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$

${\displaystyle |\mathbf {p} |=\gamma mv.}$

С определением w

${\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}},}$

и таким образом с

${\displaystyle \cosh w=\cosh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma }$

${\displaystyle \sinh w=\sinh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\beta \gamma ,}$

энергию и скалярный импульс можно записать как:

${\displaystyle E=mc^{2}\cosh w}$

${\displaystyle |\mathbf {p} |=mc\,\sinh w.}$

Таким образом, быстроту можно рассчитать по измеренным энергии и импульсу с помощью

${\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {|\mathbf {p} |c}{E}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{E-|\mathbf {p} |c}}=\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{mc^{2}}}~.}$

Однако физики-экспериментаторы частиц часто используют модифицированное определение скорости относительно оси пучка.

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}},}$

где p _z - компонента импульса вдоль оси пучка. ^[11] Это скорость усиления вдоль оси луча, которая переводит наблюдателя из лабораторной рамки в рамку, в которой частица движется только перпендикулярно лучу. С этим связано понятие псевдобыстротности .

Скорость относительно оси луча также может быть выражена как

${\displaystyle y=\ln {\frac {E+p_{z}c}{\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{T}^{2}c^{2}}}}~.}$

См. Также [ править ]

• Бонди k-исчисление
• Преобразование Лоренца
• Псевдобыстротность
• Правильная скорость
• Теория относительности

Замечания [ править ]

Примечания и ссылки [ править ]

• Варичак V (1910), (1912), (1924) См. Владимир Варичак # Публикации
• Уиттакер, ET (1910). « История теорий эфира и электричества »: 441. Cite journal requires |journal= (help)
• Робб, Альфред (1911). Оптическая геометрия движения, новый взгляд на теорию относительности . Кембридж: Хеффнер и сыновья.
• Борель Э. (1913) Теория относительности и кино, Comptes Rendus Acad Sci Paris 156 215-218; 157 703-705
• Зильберштейн, Людвик (1914). Теория относительности . Лондон: Macmillan & Co.
• Владимир Карапетов (1936) "Ограниченная теория относительности в терминах гиперболических функций быстроты", American Mathematical Monthly 43:70.
• Фрэнк Морли (1936) «Когда и где», Критерий , отредактированный Т. С. Элиотом , 15: 200-2009.
• Вольфганг Риндлер (2001) Относительность: специальная, общая и космологическая , стр. 53, Oxford University Press .
• Шоу, Рональд (1982) Линейная алгебра и представления групп , т. 1, стр. 229, Academic Press ISBN 0-12-639201-3 . 
• Вальтер, Скотт (1999). «Неевклидов стиль теории относительности Минковского» (PDF) . В J. Gray (ed.). Символическая Вселенная: геометрия и физика . Издательство Оксфордского университета. С. 91–127.(см. стр. 17 электронной ссылки)
• Родос, штат Джерси; Семон, доктор медицины (2004). «Релятивистское пространство скоростей, вигнеровское вращение и прецессия Томаса». Являюсь. J. Phys . 72 (7): 93–90. arXiv : gr-qc / 0501070 . Bibcode : 2004AmJPh..72..943R . DOI : 10.1119 / 1.1652040 . S2CID  14764378 .
• Джексон, JD (1999) [1962]. «Глава 11». Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-30932-X.