В линейной алгебры , то след из квадратной матрицы A , обозначается тр ( ) , [1] [2] определяется как сумма элементов на главной диагонали (от верхнего левого к нижнему правому) из A .
След матрицы - это сумма ее (комплексных) собственных значений ( с учетом кратностей), и он инвариантен относительно замены базиса . Эта характеризация может быть использована для определения следа линейного оператора в целом. След определяется только для квадратной матрицы ( n × n ).
След связан с производной определителя (см . Формулу Якоби ).
Определение
След из п × п квадратной матрицы А определяется как [2] [3] [4] : 34
где II обозначает запись на I - й строки и I - й столбец А .
Пример
Пусть A - матрица с
потом
Характеристики
Основные свойства
След - это линейное отображение . То есть [2] [3]
для всех квадратных матриц A и B и всех скаляров c . [4] : 34
Матрица и ее транспонирование имеют один и тот же след: [2] [3] [4] : 34
Это сразу следует из того, что транспонирование квадратной матрицы не влияет на элементы по главной диагонали.
След продукта
След квадратной матрицы, являющейся произведением двух матриц, можно переписать как сумму произведений их элементов по элементам. Точнее, если A и B две матрицы m × n , то:
Это означает, что след произведения матриц равного размера функционирует аналогично скалярному произведению векторов (представьте, что A и B как длинные векторы со столбцами, наложенными друг на друга). По этой причине обобщения векторных операций на матрицы (например, в матричном исчислении и статистике ) часто включают след матричных произведений.
Для вещественных матриц A и B след продукта также можно записать в следующих формах:
(с использованием произведения Адамара , также известного как начальное произведение). (с помощью оператора векторизации ).
Матрицы в следе продукта можно переключать без изменения результата: если A - матрица размера m × n, а B - матрица размера n × m , то [2] [3] [4] : 34 [примечание 1]
Кроме того, для вещественных матриц столбцов а также , след внешнего продукта эквивалентен внутреннему продукту:
Циклическое свойство
В более общем смысле, след инвариантен относительно циклических перестановок , т. Е.
Это известно как циклическое свойство .
Произвольные перестановки не допускаются: как правило,
Однако, если рассматриваются произведения трех симметричных матриц, допускается любая перестановка, поскольку:
где первое равенство связано с тем, что следы матрицы и ее транспонирования равны. Обратите внимание, что в целом это неверно для более чем трех факторов.
След матричного произведения
В отличие от определителя , след продукта не является произведением следов, то есть существуют такие матрицы A и B , что
Например, если
тогда продукт
и следы
След продукта Кронекера
След продукта Кронекера двух матриц является произведением их следов:
Полная характеристика следа
Следующие три свойства:
полностью охарактеризовать след в следующем смысле. Пусть f - линейный функционал на пространстве квадратных матриц, для которого f ( xy ) = f ( yx ) . Тогда f и tr пропорциональны. [заметка 2]
Инвариантность подобия
След инвариантен к подобию , что означает, что для любой квадратной матрицы A и любой обратимой матрицы P одинаковой размерности матрицы A и P −1 AP имеют один и тот же след. Это потому что
След произведения симметричной и кососимметричной матрицы
Если является симметричным и B является кососимметричен , то
- .
Отношение к собственным значениям
След единичной матрицы
След единичной матрицы n × n - это размерность пространства, а именно n . [1]
Это приводит к обобщению размерности с использованием трассировки .
След идемпотентной матрицы
След в идемпотентной матрицы A (матрица , для которой 2 = ) равно ранга из A .
След нильпотентной матрицы
След нильпотентной матрицы равен нулю.
Когда характеристика базового поля равна нулю, верно и обратное: если tr ( A k ) = 0 для всех k , то A нильпотентна.
Когда характеристика n > 0 положительна, тождество в n измерениях является контрпримером, так как, но личность не является нильпотентной.
Трассировка равна сумме собственных значений
В более общем смысле, если
это характеристический полином из матрицы А , то
то есть след квадратной матрицы равен сумме собственных значений, подсчитанных с кратностями.
След коммутатора
Когда оба и В являются п × п матрицы, след (кольцо теоретико-) коммутатора из А и В равна нулю: Tr ([ , B ]) = 0 , так как тр ( АВ ) = тр ( ВА ) и тр линейно. Это можно сформулировать так: «след - это отображение алгебр Ли gl n → k от операторов к скалярам», поскольку коммутатор скаляров тривиален (это абелева алгебра Ли). В частности, используя инвариантность подобия, следует, что единичная матрица никогда не похожа на коммутатор любой пары матриц.
Наоборот, любая квадратная матрица с нулевым следом представляет собой линейную комбинацию коммутаторов пар матриц. [примечание 3] Более того, любая квадратная матрица с нулевым следом унитарно эквивалентна квадратной матрице с диагональю, состоящей из всех нулей.
След эрмитовой матрицы
След эрмитовой матрицы действительный, потому что элементы на диагонали действительны.
След матрицы перестановок
След матрицы перестановок - это количество неподвижных точек , потому что диагональный член a ii равен 1, если i- я точка фиксирована, и 0 в противном случае.
След матрицы проекции
След матрицы проекции - это размер целевого пространства.
Матрица P X идемпотентна, и, вообще говоря, след любой идемпотентной матрицы равен ее собственному рангу.
Экспоненциальный след
Выражения, подобные tr (exp ( A )) , где A - квадратная матрица, так часто встречаются в некоторых областях (например, в многомерной статистической теории), что сокращенное обозначение стало обычным явлением:
tre иногда называют экспоненциальной функцией трассировки ; он используется в неравенстве Голдена – Томпсона .
След линейного оператора
В целом, учитывая некоторое линейное отображение F : V → V (где V представляет собой конечно- мерное векторное пространство ), мы можем определить след этой карты, рассматривая след матрицы представления о е , то есть, выбирая основу для V и описывая f как матрицу относительно этого базиса, и беря след этой квадратной матрицы. Результат не будет зависеть от выбранного базиса, поскольку разные базисы приведут к похожим матрицам , что дает возможность независимого от базиса определения следа линейного отображения.
Такое определение может быть дано с помощью канонического изоморфизма между пространством End ( V ) линейных отображениями на V и V ⊗ V * , где V * является сопряженным пространством из V . Пусть v находится в V, а f находится в V * . Тогда след неразложимого элемента v ⊗ f определяется как f ( v ) ; след общего элемента определяется линейностью. Используя явный базис для V и соответствующий дуальный базис для V * , можно показать, что это дает такое же определение следа, как дано выше.
Отношения собственных значений
Если линейный оператор представлен квадратной матрицы с вещественными или комплексными записями и если λ 1 , ..., λ п являются собственные из А (перечислены в соответствии с их алгебраических кратностей ), то
Это следует из того факта, что A всегда подобна своей жордановой форме , верхнетреугольной матрице, имеющей λ 1 ,…, λ n на главной диагонали. В противоположность этому , определитель из А является продуктом его собственных значений; это,
В более общем смысле,
Производные
След соответствует производной определителя: это аналог алгебры Ли ( группы Ли ) отображения определителя. Это уточнено в формуле Якоби для производной от определителя .
В конкретном случае, в идентичности , производная детерминанта фактически сводится к следу: TR = йе ' я . Из этого (или из связи между следом и собственными значениями) можно вывести связь между функцией следа, экспоненциальным отображением между алгеброй Ли и ее группой Ли (или, конкретно, матричной экспоненциальной функцией) и определителем :
Например, рассмотрим однопараметрическое семейство линейных преобразований, задаваемых поворотом на угол θ ,
Все эти преобразования имеют определитель 1, поэтому они сохраняют площадь. Производная этого семейства при θ = 0 , единичный поворот, является антисимметричной матрицей
который явно имеет нулевой след, что указывает на то, что эта матрица представляет собой бесконечно малое преобразование, которое сохраняет площадь.
Связанная характеристика трассы применяется к линейным векторным полям . Для матрицы A определим векторное поле F на R n формулой F ( x ) = Ax . Компоненты этого векторного поля являются линейными функциями (заданными строками A ). Его дивергенция div F является постоянной функцией, значение которой равно tr ( A ) .
По теореме о расходимости это можно интерпретировать в терминах потоков: если F ( x ) представляет скорость жидкости в точке x, а U - область в R n , чистый поток жидкости из U определяется выражением tr ( ) · т ( U ) , где т ( U ) представляет собой объем из U .
След - линейный оператор, поэтому он коммутирует с производной:
Приложения
След комплексной матрицы 2 × 2 используется для классификации преобразований Мёбиуса . Сначала матрица нормализуется, чтобы сделать ее определитель равным единице. Тогда, если квадрат следа равен 4, соответствующее преобразование будет параболическим . Если квадрат находится в интервале [0,4) , он эллиптический . Наконец, если квадрат больше 4, преобразование является локсодромным . См. Классификацию преобразований Мёбиуса .
Трассировка используется для определения символов из представлений групп . Два представления , B : G → GL ( V ) группы G эквивалентны (до изменения базиса на V ) , если тр ( ( г )) = Tr ( В ( г )) для всех г ∈ G .
След также играет центральную роль в распределении квадратичных форм .
Алгебра Ли
След - это отображение алгебр Ли из алгебры Ли линейных операторов в n -мерном пространстве ( n × n матриц с элементами из) в алгебру Ли скаляров K ; поскольку K абелева (скобка Ли равна нулю), тот факт, что это отображение алгебр Ли, в точности означает, что след скобки равен нулю:
Ядро этого отображения, матрица, след которой равен нулю , часто называютбесследный илибез следов , и эти матрицы образуютпростую алгебру Ли , Которая является алгеброй Ли из специальной линейной группы матриц с определителем 1. Специальная линейная группа состоит из матриц , которые не изменяют объем, в то время как специальная линейная алгебра Ли является матрицы , которые не изменяют объем бесконечно малых множеств.
Фактически, существует внутреннее разложение на прямую суммуоператоров / матриц в бесследные операторы / матрицы и скалярные операторы / матрицы. Карта проекции на скалярные операторы может быть выражена в терминах следа, в частности, как:
Формально трассу ( карту страны) можно составить из карты объекта«включения скаляров » для получения картыотображение на скаляры и умножение на n . Деление на n делает это проекцией, что дает формулу выше.
С точки зрения коротких точных последовательностей , один имеет
что аналогично
(где ) для групп Ли. Однако след расщепляется естественным образом (через умножить на скаляры) так , но разбиение определителя будет таким, как корень n, умноженный на скаляры, и это в общем случае не определяет функцию, поэтому определитель не разбивается, и общая линейная группа не распадается:
Билинейные формы
Билинейная форма (где Х , Y квадратные матрицы)
называется формой Киллинга , которая используется для классификации алгебр Ли.
След определяет билинейную форму:
Форма является симметричной, невырожденной [примечание 4] и ассоциативной в том смысле, что:
Для сложной простой алгебры Ли (например, n ) каждая такая билинейная форма пропорциональна друг другу; в частности, к форме убийства.
Две матрицы X и Y называются ортогональными по следу, если
- .
Внутренний продукт
Для матрицы A размера m × n с комплексными (или действительными) элементами и H, являющимся сопряженным транспонированием, имеем
с равенством тогда и только тогда, когда A = 0 . [5] : 7
Назначение
дает скалярное произведение на пространстве всех комплексных (или вещественных) матриц размера m × n .
Норма , полученная из приведенного выше скалярного произведения называется норма Фробениуса , которая удовлетворяет полумультипликативное свойство как матричная норма. В самом деле, это просто евклидова норма, если матрица рассматривается как вектор длины m ⋅ n .
Отсюда следует, что если A и B - действительные положительные полуопределенные матрицы одного размера, то
- [примечание 5]
Обобщения
Понятие следа матрицы обобщается на класс следов от компактных операторов на гильбертовом пространстве , а аналог нормы Фробениуса называется Гильберт-Шмидт норма.
Если K трассовый, то для любого ортонормированного базиса , след задается
и конечна и не зависит от ортонормированного базиса. [6]
Частичный след является другим обобщением следа , который операторнозначный. След линейного оператора Z, который живет в пространстве-продукте A ⊗ B , равен частичным следам над A и B :
Для получения дополнительных свойств и обобщения частичного следа см. Отслеживаемые моноидальные категории .
Если общая ассоциативная алгебра над полем к , то след на А часто определяется как любое отображение тр: ↦ к которой обращается в нуль на коммутаторах: тр ([ , Ь ]) для всех а , б ∈ A . Такой след не определен однозначно; его всегда можно изменить, по крайней мере, умножением на ненулевой скаляр.
Суперслед является обобщением следа на установку супералгебрах .
Операция тензорного сжатия обобщает след на произвольные тензоры.
Безкоординатное определение
К следу можно также подойти безкоординатным образом, т. Е. Без обращения к выбору базиса, следующим образом: пространство линейных операторов в конечномерном векторном пространстве V (определенном над полем F ) изоморфно пространству пространство V ⊗ V ∗ линейным отображением
Существует также каноническая билинейная функция t : V × V ∗ → F, которая состоит в применении элемента w ∗ из V ∗ к элементу v из V, чтобы получить элемент из F :
Это индуцирует линейную функцию на тензорном произведении (в силу своего универсального свойства ) t : V ⊗ V ∗ → F , которое, как оказывается, когда это тензорное произведение рассматривается как пространство операторов, равно следу.
В частности, для оператора A ранга один (эквивалентно простой тензор ) квадрат потому что на его одномерном изображении A - это просто скалярное умножение. В терминах тензорного выраженияи это след (и только ненулевое собственное значение) оператора A ; это дает безкоординатную интерпретацию диагонального входа. Каждый оператор в n -мерном пространстве может быть выражен как сумма n операторов ранга один; это дает безкоординатную версию суммы диагональных элементов.
Это также проясняет, почему tr ( AB ) = tr ( BA ) и почему tr ( AB ) ≠ tr ( A ) tr ( B ) , поскольку композиция операторов (умножение матриц) и след могут интерпретироваться как одно и то же спаривание. Viewing
можно интерпретировать композиционную карту
в виде
происходит от спаривания V ∗ × V → F на средних членах. Отслеживание следа продукта происходит в результате спаривания на внешних терминах, при взятии продукта в обратном порядке и последующем взятии следа просто выбирается, какое спаривание применяется первым. С другой стороны, взятие следа A и следа B соответствует применению спаривания к левым и правым членам (а не к внутреннему и внешнему) и, таким образом, отличается.
В координатах это соответствует индексам: умножение дается на
так
что то же самое, в то время как
что другое.
Для конечномерного V с базисом { e i } и дуальным базисом { e i } , тогда e i ⊗ e j - это ij -элемент матрицы оператора относительно этого базиса. Следовательно, любой оператор A является суммой вида
Если t определено, как указано выше,
Последнее, однако, является просто дельтой Кронекера , равной 1, если i = j, и 0 в противном случае. Это показывает, что tr ( A ) - это просто сумма коэффициентов по диагонали. Однако этот метод делает координатную инвариантность непосредственным следствием определения.
Двойной
Далее можно дуализировать эту карту, получив карту
Это отображение и есть включение скаляров , отправляющее 1 ∈ F в единичную матрицу: «след двойственен скалярам». На языке биалгебр скаляры - это единица , а след - это счетчик .
Затем можно составить их,
что дает умножение на n , поскольку след идентичности является размерностью векторного пространства.
Обобщения
Используя понятие дуализируемых объектов и категориальных следов , этот подход к следам может быть плодотворно аксиоматизирован и применен к другим областям математики.
Смотрите также
- След тензора относительно метрического тензора
- Характеристическая функция
- Полевой след
- Неравенство Голдена – Томпсона.
- Особый след
- Теорема Шпехта
- Класс трассировки
- Идентификация трассировки
- Следить за неравенством
- Следовое неравенство фон Неймана
Заметки
- ^ Это непосредственно следует из определения матричного произведения :
- .
- ^ Доказательство: f ( e ij ) = 0 тогда и только тогда, когда i ≠ j и f ( e jj ) = f ( e 11 ) (со стандартным базисом e ij ), и, следовательно,
- ^ Доказательство:n -полупростая алгебра Ли,и поэтому каждый элемент в ней является линейной комбинацией коммутаторов некоторых пар элементов, иначепроизводная алгебрабыла бы собственным идеалом.
- ^ Это следует из того факта, что tr ( A * A ) = 0 тогда и только тогда, когда A = 0 .
- ^ Это можно доказать с помощью неравенства Коши – Шварца .
Рекомендации
- ^ a b «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 9 сентября 2020 .
- ^ а б в г д «Ранг, след, определитель, транспонирование и инверсия матриц» . fourier.eng.hmc.edu . Проверено 9 сентября 2020 .
- ^ а б в г Вайсштейн, Эрик В. «Матричный след» . mathworld.wolfram.com . Проверено 9 сентября 2020 .
- ^ а б в г Липшуц, Сеймур; Липсон, Марк (сентябрь 2005 г.). Очерк теории и проблем линейной алгебры Шаума . Макгроу-Хилл. ISBN 9780070605022.
- ^ Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521839402.
- ^ Teschl, G. (30 October 2014). Mathematical Methods in Quantum Mechanics. Graduate Studies in Mathematics. 157 (2nd ed.). American Mathematical Society. ISBN 978-1470417048.
Внешние ссылки
- "Trace of a square matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]