База топологии

---

База топологии (база топологического пространства, базис топологии, открытая база) — семейство открытых подмножеств топологического пространства ${\displaystyle X}$, такое, что любое открытое множество в ${\displaystyle X}$ представимо в виде объединения элементов этого семейства.

Часто базу топологии предъявляют для того, чтобы ввести топологию. Например, на метрическом пространстве топология определяется через базу, образованную всеми открытыми шарами.

Семейство ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ открытых множеств топологического пространства ${\displaystyle X}$ называется базой топологии (или топологического пространства), если любое открытое множество из ${\displaystyle X}$ представимо в виде объединения элементов семейства ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

Семейство ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ открытых множеств топологического пространства ${\displaystyle X}$ является базой, тогда и только тогда, когда для каждой точки ${\displaystyle x}$ пространства ${\displaystyle X}$ и её окрестности ${\displaystyle U}$ найдётся множество ${\displaystyle V}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ такое, что ${\displaystyle x\in V\subset U}$.

Минимальная из мощностей всех баз пространства ${\displaystyle X}$ называется весом топологического пространства ${\displaystyle X}$. Вес пространства ${\displaystyle X}$ обычно обозначается ${\displaystyle w(X)}$.

---