Уравнение четвёртой степени

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любых значениях коэффициентов).

Так как функция $f(x)$ является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если $a>0$ , то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный минимум. Аналогично, если $a<0$ , то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, а значит, имеет глобальный максимум.

Корни уравнения четвёртой степени $x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}$ связаны с коэффициентами $a,\,b,\,c,\,d,\,e$ следующим образом:

Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.

Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540 году, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано,^[1] а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство»^[2].

То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения, было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема^[3].