Теорема Абеля о неразрешимости уравнений в радикалах

---

Теорема Абеля — Руффини утверждает, что общее алгебраическое уравнение степени ${\displaystyle n\geqslant 5}$ неразрешимо в радикалах^[1].

Теория Галуа описывает группу перестановок корней многочленов. Современное доказательство теоремы основано на двух следующих фактах:

Теорема Абеля — Руффини не заявляет о том, что общее уравнение ${\displaystyle n}$-й степени при ${\displaystyle n\geqslant 5}$ не имеет решения. Если допускать комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвёртой невозможно указать явную формулу для решений, то есть формулу, определяющую все возможные решения и содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени.

Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью, используя численные методы, например метод Ньютона.

Кроме того, корни некоторых уравнений высших степеней можно выразить в радикалах. Например, уравнение ${\displaystyle x^{5}-5x^{4}-10x^{3}-10x^{2}-5x-1=0}$ имеет корень ${\displaystyle x=1+{\sqrt[{5}]{2}}+{\sqrt[{5}]{4}}+{\sqrt[{5}]{8}}+{\sqrt[{5}]{16}}}$.

Хотя уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, для его корней существуют формулы с использованием тета-функций.

---