Вариация функции

---

В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ является обобщением понятия длины кривой, задаваемой в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ этой функцией.

Пусть ${\displaystyle f:[a,\;b]\to \mathbb {R} ^{n}}$. Тогда вариацией (также полной вариацией или полным изменением) функции ${\displaystyle f}$ на отрезке ${\displaystyle [a,\;b]}$ называется следующая величина:

то есть точная верхняя грань по всем разбиениям ${\displaystyle P}$ отрезка ${\displaystyle [a,\;b]}$ длин ломаных в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, концы которых соответствуют значениям ${\displaystyle f}$ в точках разбиения.

Если функция ${\displaystyle f:[a,\;b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ принадлежит классу ${\displaystyle C^{1}}$, то есть имеет непрерывную производную первого порядка на отрезке ${\displaystyle [a,\;b]}$, то ${\displaystyle f}$ — функция ограниченной вариации на этом отрезке, а вариация вычисляется по формуле:

---