Внутренность

---

Вну́тренность множества — понятие в общей топологии, обозначающее объединение всех открытых подмножеств данного множества. Точки внутренности называются внутренними точками.

Пусть дано топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}),}$ где ${\displaystyle X}$ — произвольное множество, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — определённая на нём топология. Пусть также дано подмножество ${\displaystyle A\subset X}$.

Ниже рассматривается открытость подмножеств ${\displaystyle B\subset A}$ как подмножеств всего ${\displaystyle X}$ (например, ${\displaystyle A}$ обязательно открыто как подмножество себя, но не обязательно открыто во всём топологическом пространстве), при этом ${\displaystyle X}$ явно не указывается, а открытость в нём обозначается как принадлежность ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$.

Тогда внутренность множества ${\displaystyle A}$ можно определить несколькими эквивалентными способами:

Эквивалентность определений следует из того факта, что объединение любого семейства открытых множеств открыто.

Относительной внутренностью множества называется объединение всех его открытых в его афинной оболочке подмножеств.

---