Выпуклое метрическое пространство

---

Выпуклые метрические пространства интуитивно определяются как метрические пространства с таким свойством, что любой «отрезок», который соединяет две точки этого пространства, содержит другие точки, кроме своих концов.

Рассмотрим метрическое пространство (X, d) и пусть x и y — две точки в X. Точка z в X находится между x и y, если все три точки попарно различны, и

то есть неравенство треугольника превращается в равенство. Выпуклое метрическое пространство — метрическое пространство (X, d), такое, что для любых двух различных точек x и y в X, существует третья точка z in X, лежащая между x и y.

Пусть ${\displaystyle (X,d)}$ — произвольное метрическое пространство (не обязательно выпуклое). Подмножество ${\displaystyle S\subset X}$ называется метрическим отрезком между двумя различными точками ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle X,}$, если существует числовой отрезок ${\displaystyle [a,b]}$ и изометрическое отображение

такое, что ${\displaystyle \gamma ([a,b])=S,}$ ${\displaystyle \gamma (a)=x}$ and ${\displaystyle \gamma (b)=y.}$

Очевидно, что любая точка этого метрического отрезка ${\displaystyle S}$, за исключением его «концов» ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ лежит между ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y.}$ Как следствие, если в метрическом пространстве ${\displaystyle (X,d)}$ существуют метрические отрезки между любыми двумя различными точками пространства, то оно является выпуклым метрическим пространством.

---