Пространство Лобачевского

---

Пространство Лобачевского, или гиперболическое пространство размерности ${\displaystyle n}$ — единственное полное односвязное ${\displaystyle n}$-мерное риманово многообразие постоянной отрицательной кривизны, равной ${\displaystyle -1}$. Обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ или ${\displaystyle {\Lambda }^{n}}$. Двумерное пространство Лобачевского ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ называется плоскостью Лобачевского.

Пространство Лобачевского является центральным объектом изучения геометрии Лобачевского и является одним из трёх пространств постоянной кривизны. Два других — евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, имеющее нулевую кривизну, и сфера ${\displaystyle S^{n}}$, имеющая единичную кривизну, — соответствуют евклидовой геометрии и геометрии Римана.

Пространство Лобачевского, которое независимо исследовали Николай Иванович Лобачевский и Янош Бойяи, является геометрическим пространством, аналогичным евклидову пространству, но в нём аксиома параллельности Евклида не выполняется. Вместо этого аксиома параллельности заменяется на следующую альтернативную аксиому (в пространстве размерности два):

Отсюда вытекает теорема, что существует бесконечно много таких прямых, проходящих через P. Аксиома не определяет однозначно плоскость Лобачевского с точностью до движения, поскольку нужно задать постоянную кривизну K < 0. Однако аксиома определяет плоскость с точностью до гомотетии, то есть с точностью до преобразований, которые без поворота меняют расстояния на некоторый постоянный множитель. Если можно выбрать подходящий масштаб длины, то можно предположить без потери общности, что K = −1.

Можно построить модели пространств Лобачевского, которые могут быть вложены в плоские (то есть евклидовы) пространства. В частности, из существования модели пространства Лобачевского в евклидовом вытекает, что аксиома параллельности логически независима от других аксиом евклидовой геометрии.

---