Гипероператор

---

Гиперопера́тор — обобщение традиционных арифметических операций — сложения, умножения и возведения в степень, рассматриваемых как гипероператоры 1-го, 2-го и 3-го порядка соответственно, — на высшие порядки (тетрация, пентация и так далее).

В силу некоммутативности (в общем случае) гипероператор имеет обратную функцию — гиперкорень и "определитель" — гиперлогарифм. Гиперкорень и гиперлогарифм сложения и умножения совпадают, образуя вычитание и деление соответственно, но уже для возведения в степень обратные функции становятся различными (корень и логарифм). Обратная операция и "определитель" обобщаются для гипероператора любого порядка.

Исторически первым гипероператором является функция Аккермана (1928), сконструированная как пример всюду определённой не являющейся примитивно рекурсивной вычислимой функции от трёх аргументов ${\displaystyle \varphi (a,b,n)}$ такой, что для ${\displaystyle n=0,1,2}$ она определяла операции сложения, умножения и возведения в степень соответственно:

Впоследствии Гудстейном были разработаны последовательности функций, более аккуратно реализующие концепцию гипероператоров.

Гипероператор порядка ${\displaystyle n}$ с аргументами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ (далее обозначаемый как ${\displaystyle a^{(n)}b}$) рекурсивно определяется как результат многократного применения гипероператора порядка ${\displaystyle n-1}$ к последовательности из ${\displaystyle b}$ одинаковых аргументов, (начиная с умножения, каждый из которых равен ${\displaystyle a}$):

В последнем выражении операции выполняются справа налево, что является существенным, так как гипероператоры порядка ${\displaystyle n>2}$ не являются ни коммутативными, ни ассоциативными. Гипероператоры 4-го, 5-го и 6-го порядка называются «тетра́ция», «пента́ция» и «гекса́ция» соответственно.

---