Гипотеза Борсука

Выдвинута Каролем Борсуком в 1933 году. Сыграла значительную роль в развитии комбинаторной геометрии XX века: в течение длительного периода гипотеза подтверждалась для ряда частных случаев^[⇨] и основные усилия были направлены на поиск доказательства в общем случае, поскольку весомых сомнений в её справедливости не возникало^[1]. Однако в 1993 году был найден контрпример^[⇨].

По состоянию на 2023 год доказано, что гипотеза верна при $n\leqslant 3$ , и неверна для $n\geqslant 64$ , вопрос остаётся открытым для $4\leqslant n\leqslant 63$ .

Случай $n=1$ очевиден. Случай $n=2$ был доказан самим Борсуком в 1933 году, он воспользовался результатом Дьюлы Пала^[hu] 1929 года, согласно которому любую фигуру диаметра 1 можно поместить в правильный шестиугольник ширины 1, а такой шестиугольник в свою очередь допускает разрезание на три пятиугольника диаметра ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}<1$ . Кроме того, Борсук доказал, что $n$ -мерный шар нельзя разделить на $n$ частей меньшего диаметра, тем самым утвердив нижнюю оценку для количества частей (доказательство основано на теореме Борсука — Улама).

В 1946 году Хадвигер доказал справедливость гипотезы при всех $n$ для выпуклых тел с гладкой границей^[2].

В 1947 году Юлиан Перкаль^[pl] доказал случай $n=3$ для всех ограниченных тел^[3], независимо от него в 1955 году этот же результат получил британский математик Эгглстон; простое доказательство, сходное с доказательством Борсука, было найдено несколько позже Бранко Грюнбаумом и Альдаром Хеппешем; они доказывают, что любое тело диаметра 1 можно поместить в определённый октаэдр с отсечёнными тремя вершинами, который в свою очередь допускает разбиение на 4 части диаметра меньше 0,9888.

По меньшей мере с начала 1970-х годов гипотеза подтверждена для центрально-симметричных тел. В 1971 году Клод Роджерс доказал гипотезу для всякого множества, инвариантного относительно действия группы преобразований, оставляющих на месте правильный $n$ -мерный симплекс.