Гипотеза Эрдёша — Штрауса

---

Гипотеза Эрдёша — Штрауса — теоретико-числовая гипотеза, согласно которой для всех целых чисел ${\displaystyle n\geqslant 2}$ рациональное число ${\displaystyle 4/n}$ может быть представлено в виде суммы трёх аликвотных дробей (дробей с единицей в числителе), то есть существует три положительных целых числа ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$, таких что:

Перебором на компьютере проверено выполнение гипотезы для всех чисел вплоть до ${\displaystyle n\leqslant 10^{14}}$^[2], но доказательство для всех ${\displaystyle n}$ остаётся по состоянию на 2015 год открытой проблемой.

Целые ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ не обязательно должны быть различными, но если они различны, то образуют египетскую дробь представления числа ${\displaystyle 4/n}$. Например, для ${\displaystyle n=5}$ существует два решения:

Ограничение на положительность чисел ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ существенно, поскольку, если бы были разрешены отрицательные числа, задача стала бы тривиальной. Также если ${\displaystyle n}$ является составным ${\displaystyle n=pq}$, то решение для ${\displaystyle 4/n}$ можно найти немедленно из решений для ${\displaystyle 4/p}$ или ${\displaystyle 4/q}$. По этой причине наименьшее ${\displaystyle n}$ в контрпримере, если таковой существует, должно быть простым числом и должно быть сравнимо с членом одной из шести бесконечных арифметических прогрессий по модулю 840^[3].

---