Дифференциальная геометрия кривых

---

Дифференциа́льная геоме́трия кривы́х — раздел дифференциальной геометрии, который занимается исследованием гладких пространственных и плоских кривых в евклидовом пространстве аналитическими методами.

где ${\displaystyle x(t),\ y(t),\ z(t)}$ — гладкие функции параметра ${\displaystyle t}$, причем ${\displaystyle (x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}\ >0}$ (условие регулярности).

Часто удобно использовать инвариантную и компактную запись уравнения кривой с помощью вектор-функции:

где в левой части стоит радиус-вектор точек кривой, а правая определяет его зависимость от некоторого параметра ${\displaystyle t}$. Раскрыв эту запись в координатах, мы получаем формулу (1).

В зависимости от свойств дифференцируемости функций ${\displaystyle x(t),\ y(t),\ z(t)}$, задающих кривую, говорят о степени гладкости (регулярности) кривой. Кривая называется регулярной, если для любой её точки, при подходящем выборе прямоугольной декартовой системы координат ${\displaystyle x,\ y,\ z}$, она допускает в окрестности этой точки задание уравнениями вида:

где ${\displaystyle y(x)\ }$ и ${\displaystyle z(x)\ }$ — дифференцируемые функции.

---