Дедекиндово сечение

---

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

Аналогичное построение для геометрических величин неявно присутствует в «Началах» Евклида, а именно, в книге V определение 5 звучит следующим образом:

Говорят, что величины находятся в том же отношении первая ко второй и третья к четвёртой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, одновременно равны или одновременно меньше равнократных второй и четвёртой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответствующем порядке (9, 10, 11, 12).^[4].

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ на два подмножества ${\displaystyle A}$ (нижнее, или левое) и ${\displaystyle B}$ (верхнее, или правое) такие, что^[6]:

Далее дедекиндово сечение обозначается ${\displaystyle (A,B)}$ (хотя было бы достаточно указать одно из этих множеств, второе дополняет его до ${\displaystyle \mathbb {Q} }$).

Если множество ${\displaystyle A}$ имеет наибольший элемент, то дедекиндово сечение можно отождествить с этим рациональным числом. В противном случае сечение определяет иррациональное число, которое больше всех чисел множества ${\displaystyle A}$ и меньше всех чисел множества ${\displaystyle B}$. Определив на полученном множестве сечений арифметические операции и порядок, мы получаем поле вещественных чисел, причём каждое сечение определяет одно и только одно вещественное число.

---