Дельта-функция

---

Де́льта-фу́нкция (или дельта-мера, δ-функция, δ-функция Дирака, дираковская дельта, единичная импульсная функция) — обобщённая функция, которая позволяет записать точечное воздействие, а также пространственную плотность физических величин (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенных или приложенных в одной точке.

Например, плотность единичной точечной массы m, находящейся в точке a одномерного евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1},}$ записывается с помощью ${\displaystyle \delta }$-функции в виде ${\displaystyle m\delta (x-a).}$ Дельта-функция также применима для описания распределений заряда, массы и т. п. на поверхностях или линиях.

Несмотря на распространённую форму записи ${\displaystyle \delta (x),x\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \delta }$-функция не является функцией вещественной переменной, а определяется как обобщённая функция: непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций. Можно ввести производную для δ-функции, которая тоже будет обобщённой функцией, и интеграл, определяемый как функция Хевисайда. Нетрудно указать последовательности обычных классических функций, слабо сходящиеся к ${\displaystyle \delta }$-функции.

Можно различать одномерную и многомерные дельта-функции, однако последние могут быть представлены в виде произведения одномерных функций в количестве, равном размерности пространства, на котором определена многомерная функция.

Существуют различные взгляды на понятие дельта-функции. Получающиеся при этом объекты, строго говоря, различны, однако обладают рядом общих характерных свойств. Все указанные ниже конструкции естественно обобщаются на случаи пространств большей размерности ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\ n>1)}$.

Дельта-функцию (функция Дирака) одной вещественной переменной можно определить как функцию ${\displaystyle \delta (x)}$, удовлетворяющую следующим условиям:

---