Функция Хевисайда

---

Фу́нкция Хевиса́йда (едини́чная ступе́нчатая функция, функция едини́чного скачка, включённая едини́ца, «ступенька») — кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительных^[1]. В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениям^[⇨], например:

Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое. В математической статистике эта функция применяется, например, для записи эмпирической функции распределения. Названа в честь Оливера Хевисайда.

Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции Дирака, ${\displaystyle \theta '=\delta }$, это также можно записать как (определённый интеграл является числом, для описания первообразной используется неопределённый интеграл ^[2]):

Можно определить дискретную функцию Хевисайда как функцию от целого аргумента ${\displaystyle n}$:

Для более удобного использования функцию Хевисайда можно аппроксимировать с помощью непрерывной функции:

где большему ${\displaystyle k}$ соответствует более крутой подъём функции в точке ${\displaystyle x=0}$. Задавшись необходимой шириной области перехода функции Хевисайда ${\displaystyle \Delta {x}}$, значение ${\displaystyle k}$ можно оценить как ${\displaystyle k\approx {\frac {10}{\Delta {x}}}}$.

---