Первообразная

---

Первообрáзная для функции ${\displaystyle f(x)}$ (иногда называемая антипроизводной или примити́вной функцией) — это такая функция, производная которой равна ${\displaystyle f(x)}$. Это одно из важнейших понятий математического анализа вещественной переменной (существуют также обобщения этого понятия для комплексных функций^[1]).

Первообразной для данной функции ${\displaystyle f(x)}$ называют^[2] такую функцию ${\displaystyle F(x)}$, производная которой равна ${\displaystyle f}$ (на всей области определения ${\displaystyle f}$), то есть ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$. Нахождение первообразной является операцией, обратной дифференцированию — последнее по заданной функции находит её производную, а найдя первообразную, мы, наоборот, по заданной производной определили исходную функцию.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять определённые интегралы. Если ${\displaystyle F}$ — первообразная интегрируемой непрерывной функции ${\displaystyle f}$, то:

Технически нахождение первообразной заключается в вычислении неопределённого интеграла для ${\displaystyle f(x)}$, а сам процесс называется интегрированием. О применении этой теории в геометрии см. Интегральное исчисление.

Пример: функция ${\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}}$ является первообразной для ${\displaystyle f(x)=x^{2},}$ потому что ${\displaystyle F'(x)=f(x).}$

---