Функция, имеющая первообразную

---

Функция, имеющая первообразную — функция, которая может быть получена в результате дифференцирования некоторой функции. Обычно термин употребляется по отношению к вещественнозначным функциям одного вещественного переменного, определённых на промежутке. Именно о таких функциях пойдёт речь далее в статье.

Пусть ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$, где ${\displaystyle X\in \mathbb {R} }$ — нетривиальный промежуток (то есть не пустое множество и не точка). Функция ${\displaystyle F:X\rightarrow \mathbb {R} }$ называется первообразной ${\displaystyle f}$, если ${\displaystyle F'=f}$. Если такая функция ${\displaystyle F}$ существует, то говорят, что ${\displaystyle f}$ имеет первообразную.

Любая непрерывная функция имеет первообразную. Это следует из свойств интеграла Римана с верхним переменным пределом. Используя его можно легко восстановить первообразную. Однако не все функции, имеющие первообразную, непрерывны. Именно такие функции представляют интерес.

Производную этой функции во всех точках кроме нуля можно посчитать по обычным правилам дифференцирования. Производную же в нуле придётся считать по определению:

Можно легко проверить, что в нуле у этой функции не существует предела. Действительно, составим две стремящиеся к нулю последовательности ${\displaystyle \{y_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ так, чтобы они обнуляли синус, но ${\displaystyle \cos y_{n}=1}$, а ${\displaystyle \cos z_{n}=-1}$. Тогда:

Таким образом, предел в ${\displaystyle 0}$ не существует и функция в нём разрывается.

---