Родился в 1935 году в городе Эггезин (Мекленбург) и был назван в честь своего отца Адольфа Дрезена, инженера по профессии, который в первые дни войны пропал без вести. Оставшись без мужа, Ядвига Дрезен с сыном и тремя дочерьми была вынуждена не раз менять место жительства. Ещё до школы Адольф соприкоснулся с музыкой благодаря церкви, где мог брать уроки игры сначала на аккордеоне, затем на фортепиано. В послевоенное время он посещал монастырскую школу в Рослебене (Тюрингия), продолжил обучение в Тале (Саксония-Анхальт) и там получил аттестат зрелости.
В Лейпцигском университете изучал германистику (1953—1959), подготовил под руководством Ханса Майера работу по теме «Становление буржуазной комедии в Лейпциге», представленную на государственном экзамене[4].
Во время стажировки в Берлинер ансамбль познакомился с воплощением брехтовской идеи эпического театра, опирающегося на традиции «театра представления», в отличие от «театра переживания» и системы Станиславского.
С 1959 года работал театральным режиссёром в Магдебурге, а затем в Грайфсвальде. Однако в 1964 году его постановка Гамлета вызвала споры и нарекания со стороны властей, которые запретили спектакль, отстранив режиссёра от должности за «левизну и разрушение классического наследия»[5].
Выдворение диссидента Вольфа Бирмана из ГДР спровоцировало в 1977 году переезд на Запад ряда немецких деятелей культуры, включая Адольфа Дрезена[5][6].
С 1977 по 1981 год А. Дрезен работал по договору в венском Бургтеатре, где поставил среди прочего спектакль «Эмилия Галотти» с участием Клауса Марии Брандауэра. В 1981—1985 гг. был режиссёром во Франкфурте-на-Майне, а затем работал как приглашённый оперный режиссёр в различных театрах Европы — парижском Шатле, лондонском Ковент-Гарден, брюссельском Ла-Монне/Де-Мюнт, Венской государственной опере и так далее[4].