Предельный цикл
Предельный цикл — это один из возможных вариантов стационарного состояния системы в теории динамических систем и дифференциальных уравнений; предельным циклом векторного поля на фазовой плоскости или, более обобщённо, на каком-либо двумерном многообразии называется замкнутая (периодическая) траектория этого векторного поля, в окрестности которой нет других периодических траекторий. Эквивалентным является утверждение, что всякая достаточно близкая к предельному циклу траектория стремится к нему либо в прямом, либо в обратном времени.
Теоремы Пуанкаре — Бендиксона и Андронова — Понтрягина утверждают, что типичная система с непрерывным временем на плоскости (физически говоря — состояние которой задаётся двумя вещественными параметрами, скажем, напряжением и током, или положением и скоростью точки на прямой) может стремиться только к положению равновесия или к предельному циклу.
Как следует из определения, с каждой из сторон предельный цикл является либо отталкивающим, либо притягивающим. Если поведение с обеих сторон одинаково — цикл называется соответственно отталкивающим или притягивающим. Если же с одной стороны происходит притяжение, а с другой отталкивание — говорят о полуустойчивом цикле.
Поведение траекторий, близких к предельному циклу, описывается отображением Пуанкаре на отрезке, трансверсальном к циклу, — для этого отображения точка, соответствующая циклу, является неподвижной. Так, цикл является притягивающим или отталкивающим тогда и только тогда, когда эта точка соответственно притягивающая или отталкивающая. Цикл называется гиперболическим, если соответствующая неподвижная точка гиперболична — то есть, имеет производную, отличную от . В этом случае, если производная по модулю больше 1, цикл неустойчив, если меньше — устойчив.
Стоит отметить, что обычно — в частности, для динамики на плоскости или на сфере (вообще, исключая только случай динамики на неориентируемом многообразии) — отображение Пуанкаре сохраняет ориентацию, поэтому часто говорят просто о производной отображения Пуанкаре, не оговаривая отдельно взятие её модуля.
Гиперболические предельные циклы не разрушаются малыми возмущениями — если у исходного векторного поля был гиперболический предельный цикл, то у любого поля, -близкого к нему, также найдётся близкий к исходному гиперболический предельный цикл.
