Инвариантная мера

---

Инвариантная мера — в теории динамических систем мера, определённая в фазовом пространстве, связанная с динамической системой и не изменяющаяся с течением времени при эволюции состояния динамической системы в фазовом пространстве. Понятие инвариантной меры применяется при усреднении уравнений движения, в теории показателей Ляпунова, в теории метрической энтропии и вероятностных фрактальных размерностей^[1].

В теории динамических систем, мера ${\displaystyle \mu }$ на пространстве ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ называется инвариантной для измеримого отображения ${\displaystyle f:(X,\Sigma )\to (X,\Sigma )}$, если она совпадает со своим образом ${\displaystyle f_{*}\mu }$^[2]. В силу определения, это означает, что

Для обратимых отображений переход к прообразу в (*) может быть заменён на переход к образу: если отображение ${\displaystyle f^{-1}}$ также измеримо в смысле ${\displaystyle (X,\Sigma )}$, то эквивалентным является определение

Однако в общей ситуации изменять определение таким образом нельзя: мера Лебега на окружности ${\displaystyle S^{1}}$ инвариантна относительно отображения удвоения ${\displaystyle x\mapsto 2x\mod 1}$, однако мера дуги ${\displaystyle [0,1/3]}$ отлична от меры её образа ${\displaystyle [0,2/3]}$.

---