Интегралы движения

---

В механике функция ${\displaystyle I=I(q,{\dot {q}}),}$ где ${\displaystyle q}$ — обобщённые координаты, ${\displaystyle {\dot {q}}}$ — обобщённые скорости системы, называется интегралом движения (данной системы), если ${\displaystyle I(q,{\dot {q}})=\mathrm {const} }$ на каждой траектории ${\displaystyle q(t)}$ данной системы, то функция ${\displaystyle I(q,{\dot {q}})}$ не является тождественно постоянной.

Интегралы движения, обладающие аддитивностью или асимптотической аддитивностью, называются законами сохранения.

В классической механике для замкнутой системы из ${\displaystyle N}$ частиц в трёхмерном пространстве, между которыми нет жёстких связей, можно образовать ${\displaystyle 6N-1}$ независимых интегралов движения — это первые интегралы соответствующей системы уравнений Гамильтона. Из них аддитивными являются три: энергия, импульс, момент импульса^[1].

Интегралы движения полезны потому, что некоторые свойства этого движения можно узнать даже без интегрирования уравнений движения. В наиболее успешных случаях траектории движения представляют собой пересечение изоповерхностей соответствующих интегралов движения. Например, построение Пуансо показывает, что без крутящего момента вращение твердого тела представляет собой пересечение сферы (сохранение полного углового момента) и эллипсоида (сохранение энергии) — траекторию, которую трудно вывести и визуализировать. Поэтому нахождение интегралов движения — важная цель в механике.

---