Квадратриса

---

Квадратри́са — плоская трансцендентная кривая, определяемая кинематически. Была предложена в античные времена (V веке до н. э.) для решения задач квадратуры круга и трисекции угла. Квадратриса стала первой в математике трансцендентной кривой^[1].

Кинематическое определение квадратрисы следующее: рассмотрим квадрат ${\displaystyle ABCD}$ (рис. 1), в который вписан сектор четверти круга. Пусть точка ${\displaystyle E}$ равномерно движется по дуге от точки ${\displaystyle D}$ до точки ${\displaystyle B}$; одновременно отрезок ${\displaystyle A'B'}$ равномерно движется из положения ${\displaystyle DC}$ в положение ${\displaystyle AB}$. Наконец, потребуем, чтобы оба движения начались и закончились одновременно. Тогда точка пересечения радиуса ${\displaystyle AE}$ и отрезка ${\displaystyle A'B'}$ опишет квадратрису (см. рисунки 1 и 2, выделена красным цветом).

Античные математики предубеждённо относились к кинематическим определениям кривых, считая их недостойными геометрической науки. Поэтому они предложили два других определения, не использующих понятия механического движения; эти определения приведены в сочинениях Паппа Александрийского и представляют квадратрису как проекцию некоторых кривых, связанных с винтовой линией или спиралью Архимеда^[2]. Построения эти довольно сложны и на практике не используются.

В Новое время были обнаружены и другие построения, где возникает квадратриса; например, рассмотрим пересечение витка геликоида с плоскостью, содержащей ось этой поверхности. Тогда проекция линии пересечения на плоскость, перпендикулярную оси, представляет собой ветку квадратрисы^[3].

Первое упоминание о квадратрисе сделали Папп Александрийский^[4] и Ямвлих в конце III века. Папп дал и подробное описание способов её построения. Кривая открыта, по сообщению Прокла Диадоха, софистом Гиппием в V веке до н. э. и использовалась им для решения задачи трисекции угла. Другой античный геометр, Динострат, провёл в IV веке до н. э. исследование этой кривой и показал, что она обеспечивает также решение задачи квадратуры круга. В источниках данную кривую называют «квадратрисой Динострата» или «квадратрисой Гиппия»^[5].

Папп пишет, что математик III века Спор Никейский выдвинул два серьёзных возражения против использования квадратрисы для квадратуры круга, с которыми Папп полностью согласен^[6]:

---