Кратномасштабный анализ

---

Кратномасштабный анализ (КМА) является инструментом построения базисов вейвлетов. Он был разработан в 1988/89 гг. Малла и И. Мейром. Идея кратномасштабного анализа заключается в том, что разложение сигнала производится по ортогональному базису, образованному сдвигами и кратномасштабными копиями вейвлетной функции. Свертка сигнала с вейвлетами позволяет выделить характерные особенности сигнала в области локализации этих вейвлетов.

Понятие кратномасштабного анализа (КМА) является фундаментальным в теории вейвлетов. Для кратномасштабного анализа разработан быстрый каскадный алгоритм вычислений, подобный быстрому преобразованию Фурье.

При выполнении КМА пространство сигналов ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ представляется в виде системы вложенных подпространств ${\displaystyle V_{j}\subset L^{2}(\mathbb {R} ),j\in \mathbb {Z} ,}$, отличающихся друг от друга перемасштабированием независимой переменной. Таким образом, кратномасштабным анализом (КМА) в ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ называется совокупность замкнутых пространств ${\displaystyle V_{j}(\mathbb {R} ),j\in \mathbb {Z} ,}$ если выполнены некоторые условия.

Обозначим сдвиги и растяжения функции ${\displaystyle f:}$ ${\displaystyle f_{k,n}(x)=2^{k/2}f(2^{k}x+n),k,n\in \mathbb {Z} .}$

---