Свёртка (математический анализ)

---

Свёртка, конволюция — операция в функциональном анализе, которая при применении к двум функциям ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ возвращает третью функцию, соответствующую взаимнокорреляционной функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(-x)}$. Операцию свёртки можно интерпретировать как «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на произвольных измеримых пространствах, и может рассматриваться как особый вид интегрального преобразования. В дискретном случае свёртка соответствует сумме значений ${\displaystyle f}$ с коэффициентами, соответствующими смещённым значениям ${\displaystyle g}$, то есть ${\displaystyle (f*g)(x)=f(1)g(x-1)+f(2)g(x-2)+f(3)g(x-3)+\dots }$

Пусть ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ — две функции, интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Тогда их свёрткой называется функция ${\displaystyle f*g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$, определённая формулой

В частности, при ${\displaystyle n=1}$ формула принимает вид

Свёртка ${\displaystyle (f*g)(x)}$ определена при почти всех ${\displaystyle x\in {\mathbb {R} ^{n}}}$ и интегрируема.

---