В 1880 году окончила Петербургское театральное училище, в числе её педагогов был артист балета и балетмейстер Л. И. Иванов. По окончании училища была принята в Петербургскую императорскую труппу.
Ещё годы учёбы Клавдия Куличевская была знакома и подружилась с выдающейся русской балериной — Матильдой Кшесинской. Впоследствии Куличевская была вместе с ней на гастролях, как балетмейстер поставила для Кшесинской несколько хореографических номеров, в том числе танец «Ноктюрн» на музыку Шопена (художник костюмов Лев Бакст), участвовать в котором Кшесинская в качестве своего партнёра пригласила молодого Вацлава Нижинского[2].
На сцене Клавдия Михайловна провела в Мариинском театре более двадцати лет с 1880 до 1901 годы, окончив карьеру танцовщицы выходом на сцену в балете «Камарго» Минкуса. Среди её балетных партий — Грациелла («Грациелла» Пуньи), Графиня («Своенравная жена» Адана и Пуньи), Илька («Очарованный лес» Дриго), Фея Золота («Спящая красавица» Чайковского), танцевальный дивертисмент в балете «Шалость Амура», сольный танец («Золушка» Фитингофа-Шеля), Геба («Пробуждение Флоры» Дриго), Подруга Раймонды Клеманс («Раймонда» Глазунова), Маринетта («Барышня-служанка, или испытание Дамиса» Глазунова).
Прекратив танцевальную карьеру, в 1901 году перешла на педагогическую работу в родное театральное училище. Среди её воспитанников: Ольга Спесивцева, Гали Большакова[3], Евгения Бибер[4], Фелия Дубровская[5] и другие. Для выпускных спектаклей училища Куличевская ставила отдельные номера, в том числе «Игра бабочек» на музыку Э. Вальдтейфеля для В. Ф. Нижинского и Ю. Н. Седовой, а также балеты; возобновила «Сказку Белой ночи» для О. А. Спесивцевой.
В училище проработала по 1917 год. После Октябрьской революции покинула Россию и с 1918 года жила за границей. Дальнейшая её судьба в эмиграции неизвестна.
Изображена на одной из литографий в альбоме Н.Г. Легата и С.Г. Легата «Русский балет в карикатурах» (СПБ, 1903)[6].