Многочлены Лежандра

---

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке ${\displaystyle [-1,\;1]}$ в пространстве ${\displaystyle L^{2}}$. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ${\displaystyle \{1,\;x,\;x^{2},\;x^{3},\;\ldots \}}$ ортогонализацией Грама ― Шмидта.

где ${\displaystyle z}$ — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых ${\displaystyle n}$ имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени ${\displaystyle n}$ можно представить через формулу Родрига в виде^[1]

Часто вместо ${\displaystyle z}$ записывают косинус полярного угла:

Уравнение (1) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра

где ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle \nu }$ — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при ${\displaystyle |z|<1}$ (в частности, при действительных ${\displaystyle z}$) или когда действительная часть числа ${\displaystyle z}$ больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или сферическими функциями (гармониками). Подстановка вида ${\displaystyle w=(z^{2}-1)^{\mu /2}}$ в (2) даёт уравнение Гаусса, решение которого в области ${\displaystyle |1-z|<2}$ принимает вид

где ${\displaystyle F}$ — гипергеометрическая функция. Подстановка ${\displaystyle w=z^{2}}$ в (2) приводит к решению вида

---