Lp (пространство)

---

${\displaystyle L^{p}}$ (также встречается обозначение ${\displaystyle L_{p}}$; читается «эль-пэ»; также — лебеговы пространства) — это пространства измеримых функций, таких, что их ${\displaystyle p}$-я степень интегрируема, где ${\displaystyle p\geqslant 1}$.

${\displaystyle L^{p}}$ — важнейший класс банаховых пространств. ${\displaystyle L^{2}}$ (читается «эль-два») — классический пример гильбертова пространства.

Для построения пространств ${\displaystyle L^{p}}$ используются ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$-пространства. Пространство ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ для пространства с мерой ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ и ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$ — множество измеримых функций, определённых на этом пространстве, таких что:

Как следует из элементарных свойств интеграла Лебега и неравенства Минковского, пространство ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ линейно.

На линейном пространстве ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )}$ вводится полунорма:

---