Неравенство Минковского

---

Нера́венство Минко́вского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой ${\displaystyle p}$-й степенью.

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — пространство с мерой, и функции ${\displaystyle f,g\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$, то есть ${\displaystyle \int \limits _{X}|f|^{p}\,d\mu <\infty ,\;\int \limits _{X}|g|^{p}\,d\mu <\infty }$, где ${\displaystyle p\geq 1}$, и интеграл понимается в смысле Лебега. Тогда ${\displaystyle f+g\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$, и более того:

Сначала докажем, что

${\displaystyle f,g\in L^{p}(E)\Rightarrow |f+g|^{p}}$ суммируема на ${\displaystyle E}$.

Введём множества: ${\displaystyle E_{1}=E[|f|\geq |g|]\quad E_{2}=E[|f|<|g|]}$.

${\displaystyle \int \limits _{E_{1}}|f+g|^{p}d\mu \leq \int \limits _{E_{1}}(|f|+|g|)^{p}d\mu \leq 2^{p}\int \limits _{E_{1}}|f|^{p}d\mu .}$
${\displaystyle \int \limits _{E_{2}}|f+g|^{p}d\mu \leq \int \limits _{E_{2}}(|f|+|g|)^{p}d\mu \leq 2^{p}\int \limits _{E_{2}}|g|^{p}d\mu .}$

${\displaystyle \int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu =\int \limits _{E_{1}}|f+g|^{p}d\mu +\int \limits _{E_{2}}|f+g|^{p}d\mu \leq 2^{p}\int \limits _{E_{1}}|f|^{p}d\mu +2^{p}\int \limits _{E_{2}}|g|^{p}d\mu <\infty .}$

Перейдём к доказательству неравенства Минковского:

${\displaystyle \int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu =\int \limits _{E}|f+g||f+g|^{p-1}d\mu \leq \int \limits _{E}|f||f+g|^{p-1}d\mu +\int \limits _{E}|g||f+g|^{p-1}d\mu ;}$

${\displaystyle |f|\in L^{p},|f+g|^{p-1}=|f+g|^{p/q}\in L^{q}\Rightarrow }$ можно применить к ним Неравенство Гёльдера:

${\displaystyle \int \limits _{E}|f||f+g|^{p-1}d\mu \leq \left(\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{(p-1)q}d\mu \right)^{1/q}=\left(\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p},}$
${\displaystyle \int \limits _{E}|g||f+g|^{p-1}d\mu \leq \left(\int \limits _{E}|g|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{(p-1)q}d\mu \right)^{1/q}=\left(\int \limits _{E}|g|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p}.}$

Таким образом:

${\displaystyle \int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \leq \left(\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p}+\left(\int \limits _{E}|g|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p}.}$

Делим левую и правую части на ${\displaystyle \left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p}}$.

Неравенство доказано.

Примечание: В случае, когда ${\displaystyle \left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p}=0}$ неравенство очевидно, так как справа стоят неотрицательные числа.

Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве ${\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$ можно ввести норму:

---