Ортогональные многочлены

---

В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов

где каждый многочлен ${\displaystyle p_{n}(x)}$ имеет степень ${\displaystyle n}$, а также любые два различных многочлена этой последовательности ортогональны друг другу в смысле некоторого скалярного произведения, заданного в пространстве ${\displaystyle L^{2}}$.

Понятие ортогональных многочленов было введено в конце XIX в. в работах П. Л. Чебышёва по непрерывным дробям и позднее развито А. А. Марковым и Т. И. Стилтьесом и нашло различные применения во многих областях математики и физики.

Пусть ${\displaystyle (a,b)}$ — промежуток на вещественной оси (конечный или бесконечный). Этот промежуток называется интервалом ортогональности. Пусть

заданная непрерывная, строго положительная внутри промежутка ${\displaystyle (a,b)}$ функция. Такая функция называется весовой или просто весом. Функция ${\displaystyle w(x)}$ связана с пространством функций ${\displaystyle L_{2}}$, для которых сходится интеграл

Если скалярное произведение двух функций равно нулю ${\displaystyle \langle f,g\rangle =0}$, то такие функции называются ортогональными с весом ${\displaystyle w(x)}$. Как правило, среди ортогональных полиномов рассматриваются только вещественные функции.

---