Модулярная группа

---

Модулярная группа — группа ${\displaystyle \Gamma }$ всех преобразований Мёбиуса вида

где ${\displaystyle a,\;b,\;c,\;d}$ — целые числа, причём ${\displaystyle ad-bc=1}$.

Модулярная группа отождествляется с факторгруппой ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )=SL(2,\;\mathbb {Z} )/\{I,\;-I\}}$. Здесь ${\displaystyle SL(2,\;\mathbb {Z} )}$ — группа матриц

где ${\displaystyle a,\;b,\;c,\;d}$ — целые числа, ${\displaystyle ad-bc=1}$.

Модулярная группа является дискретной группой преобразований верхней комплексной полуплоскости ${\displaystyle H=\{z:\mathrm {Im} \,z>0\}}$ (плоскости Лобачевского) и допускает представление образующими

и соотношениями ${\displaystyle S^{2}=(ST)^{3}=1}$, то есть является свободным произведением циклической группы порядка 2, порождённой ${\displaystyle S}$, и циклической группы порядка 3, порождённой ${\displaystyle ST}$.

---