Носитель функции

---

Носитель функции ${\displaystyle u\colon X\to \mathbb {R} }$ — это замыкание подмножества ${\displaystyle X}$, на котором вещественнозначная функция ${\displaystyle u}$ не обращается в нуль:

Наиболее распространённым является случай, когда функция ${\displaystyle u}$ определена на топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ и является непрерывной. В таком случае носитель определяется как наименьшее замкнутое подмножество ${\displaystyle X}$, за пределами которого ${\displaystyle u}$ равняется нулю.

Функции с компактным носителем на ${\displaystyle X}$ — те, носитель которых является компактным подмножеством ${\displaystyle X}$.

Например, если ${\displaystyle X}$ — это вещественная прямая, то все непрерывные функции, обнуляющиеся при ${\displaystyle |x|>C}$, являются функциями с компактным носителем.

Также можно ввести понятие носителя для обобщённой функции, то есть для функционала на множестве бесконечногладких финитных функций.

Рассмотрим обобщённую функцию ${\displaystyle f}$ и все множества ${\displaystyle K}$ такие, что если финитная функция ${\displaystyle \varphi }$ обнуляется на множестве ${\displaystyle K}$, то значение ${\displaystyle (f,\;\varphi )}$ равно 0.

---