Ньютонов потенциал

---

Ньюто́новым потенциа́лом называют функцию, заданную в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ и определяемую как свертка обобщенной функции, называемой в теории потенциала плотностью, с функцией |x|⁻¹:

Если ρ — интегрируемая функция на некоторой области G и ρ(x) = 0, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}\setminus {\overline {G}}}$, то ньютонов потенциал, называемый объемным потенциалом, можно выразить через интеграл

О гладкости потенциала можно сказать следующее. Если ρ ∈ C(G), то V(x) ∈ C¹(ℝ³) и ΔV(x) = 0 при x ∈ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\setminus {\overline {G}}}$.

Вместо области G теперь рассматривается ограниченная кусочно-гладкая поверхность с нормалью n, μ — непрерывная функция на S. Ньютоновым потенциалом простого слоя называется свёртка

Потенциал простого слоя гармоничен вне области S, является непрерывным всюду в ℝ³ и в бесконечно удаленной точке стремится к нулю. Кроме того, если S — поверхность Ляпунова, то на ней наблюдается разрыв нормальной производной потенциала простого слоя:

где φ — угол между нормалью к поверхности S в точке y и радиус-вектором, направленном из точки x в точку y.

---