Проекция (геометрия)

---

Отображение ${\displaystyle P\colon A\to A}$ пространства ${\displaystyle A}$ в себя называется проекцией, если это отображение является идемпотентным, то есть его композиция с самим собой равна ${\displaystyle P\colon }$ ${\displaystyle P\circ P=P}$ или ${\displaystyle P(P(a))=P(a)}$ для всех ${\displaystyle a\in A}$.

Проекционный метод изображения предметов основан на их зрительном представлении. Если соединить все точки предмета прямыми линиями (проекционными лучами) с постоянной точкой О (центр проекции), в которой предполагается глаз наблюдателя, то на пересечении этих лучей с какой-либо плоскостью получается проекция всех точек предмета. Таким образом получаем на плоскости перспективное изображение предмета, или центральную проекцию.

Если центр проекции бесконечно удалён от картинной плоскости, то говорят о параллельной проекции; при этом если проекционные лучи падают перпендикулярно к плоскости — то об ортогональной проекции, а если наклонно — о косоугольной.

Если плоскость проекции не параллельна ни одной из координатных плоскостей прямоугольной системы — это аксонометрическая проекция.

Проекция в этом смысле (упомянутая во введении в пункте 2) — широко применяется в линейной алгебре (подробнее, см.: Проекция (линейная алгебра)), но на практике не только в достаточно абстрактных контекстах, но и при работе с векторами любой природы, размерности и степени абстракции, и даже в элементарной геометрии, а также — очень широко — при использовании прямолинейных координат (как прямоугольных, так и аффинных).

Термин проекция в этом смысле употребляется и в отношении самой операции проецирования, и в отношении её результата (при операции проецирования на прямую образы точки, вектора, множества точек называются проекцией точки, вектора, множества точек на эту прямую).

---