Проектор (математика)

---

В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор ${\displaystyle P}$, действующий в линейном пространстве, называется прое́ктором (а также опера́тором проеци́рования и проекцио́нным опера́тором), если ${\displaystyle P^{2}=P}$. Такой оператор называют идемпотентным.

В качестве определения можно использовать следующее свойство проектора: линейный оператор ${\displaystyle P:X\to X}$ является проектором тогда и только тогда, когда существуют такие подпространства ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ пространства ${\displaystyle X}$, что ${\displaystyle X}$ раскладывается в их прямую сумму, и при этом для любой пары элементов ${\displaystyle u\in U,\ v\in V}$ имеем ${\displaystyle P(u+v)=u}$. Подпространства ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ — соответственно образ и ядро проектора ${\displaystyle P}$, и обозначаются ${\displaystyle \mathrm {Im} P}$ и ${\displaystyle \mathrm {Ker} P}$.

В общем случае, разложение линейного пространства в прямую сумму не единственно. Поэтому, для подпространства ${\displaystyle V}$ пространства ${\displaystyle X}$, вообще говоря, существует много проекторов, образ или ядро которых совпадает с ${\displaystyle V}$.

---