Особая точка кривой

---

Особая точка кривой — точка, в окрестности которой не существует гладкой параметризации. Точное определение зависит от типа изучаемой кривой.

Алгебраическую кривую на плоскости можно определить как множество точек ${\displaystyle \left(x,y\right)}$, удовлетворяющих уравнению вида ${\displaystyle f\left(x,y\right)=0}$, где ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ — полиномиальная функция ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$:

Если начало координат ${\displaystyle \left(0,0\right)}$ принадлежит кривой, то ${\displaystyle a=0}$. Если ${\displaystyle b_{2}\not =0}$, то теорема о неявной функции гарантирует существование гладкой функции ${\displaystyle g}$, такой что кривая принимает вид ${\displaystyle y=g\left(x\right)}$ в окрестности начала координат. Аналогично, если ${\displaystyle b_{1}\not =0}$, то существует такая функция ${\displaystyle h}$, что кривая удовлетворяет уравнению ${\displaystyle x=h\left(y\right)}$ в окрестности начала координат. В обоих случаях существует гладкое отображение ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$, которое определяет кривую в окрестности начала координат. Заметим, что в окрестности начала координат

---