Парадокс Скулема

---

Парадокс Скулема — противоречивое рассуждение, описанное впервые норвежским математиком Туральфом Скулемом, связанное с использованием теоремы Лёвенгейма — Скулема для аксиоматической теории множеств.

В отличие от парадокса Рассела, парадокса Кантора, парадокса Бурали-Форти, где при помощи логически верных выводов обнаруживается противоречие, «замаскированное» в исходных посылках, «противоречие» парадокса Скулема возникает от ошибки в рассуждениях, и аккуратное рассмотрение вопроса показывает, что это лишь мнимый парадокс. Тем не менее, рассмотрение парадокса Скулема имеет большую дидактическую ценность.

Если система аксиом любой аксиоматической теории множеств непротиворечива, то она, в силу теорем Гёделя и Лёвенгейма — Скулема, имеет модель и, более того, эта модель может быть построена на натуральных числах. То есть, всего лишь счётное множество объектов ${\displaystyle M}$ (каждый из которых будет соответствовать уникальному множеству) требуется для того, чтобы подобрать значение предиката ${\displaystyle x\in y}$ для каждой пары объектов, полностью удовлетворяющее аксиомам этой теории (например, ${\displaystyle \mathrm {ZF} }$ или ${\displaystyle \mathrm {ZFC} }$ — в предположении их непротиворечивости, см. Аксиоматика теории множеств). В такой ситуации для каждого объекта модели ${\displaystyle y}$ лишь конечное или счётное количество объектов (больше просто нет в предметной области) могут входить в отношение ${\displaystyle \ldots \in y}$. Фиксируем такую модель ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ со счётным ${\displaystyle M}$ в качестве предметной области.

В силу теорем ${\displaystyle \mathrm {ZF} }$, вне зависимости от принятой модели в ${\displaystyle \mathrm {ZF} }$ выводимо, например, существование терма ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )}$, мощность которого несчётна. Но в счётной модели любое множество вынужденно не более, чем счётно — противоречие?

---